三角形ABC中D E F分别是AB，BC，CA的中点，BF与CD交于点O，设向量AB=a向量AC=b,证明A O E三点在同一...

Question

三角形ABC中D E F分别是AB，BC，CA的中点，BF与CD交于点O，设向量AB=a向量AC=b,证明A O E三点在同一直线上？

Answer 1

△ABC，D.E.F分别是AB BC CA的中点，BF与CD交与点O,设向量AB=a,AC=b,证明AOE三点共线

由于向量符号不好写，以AB记AB向量，AB=-BA

设中线AE与BF交于O
设AO=mAE=m(AC+CE)=(m/2)(2AC-BC)=(m/2)(2AC+CB)
设BO=nBF=n(BC+CE)=(n/2)(2BC-AC),OB=-BO=(n/2)(AC+2CB)
AB=AO+BO=(m+n/2)AC+(m/2+c)BC
又AB=AC+CB
即(m+n/2)AC+(m/2+c)BC=AC+CB
(-1+m+n/2)AC+(-1+m/2+c)BC=0
因为AC,BC不共线
所以m+n/2=m/2+n=1, 解得m=n=2/3
AO=(2/3)AA1
又设AE与CD交于O1,同理可得AO1=(2/3)AE
O与O1重合
所以AE,BF,CD交于一点
三角形三边中线交于一点.
也就是AOE 三点共线

Answer 2

AD=（AB+AC）/2，（用平行四边形可说明），
BE=（BA+BC）/2，CF=（CA+CB）/2，
三式相加，AD+BE+CF=（AB+AC）/2+（BA+BC）/2+（CA+CB）/2=AB/2-AB/2+AC/2-AC/2+BC/2-BC/2=0
∴AD+BE+CF=0，三个向量之和为0
∵BF，CD交O，
∴AE经过点O

Answer 3

我的思路是过AO作辅助线，与BC相交于E‘点，证明|BE’|=|CE‘|
具体怎么做，就不会了。定理忘完了