设三角形ABC中，a,b,c,分别是角A,B,C的对边，若三边长为连续的三个正整数，且A＞B＞C,

Question

设三角形ABC中，a,b,c,分别是角A,B,C的对边，若三边长为连续的三个正整数，且A＞B＞C,3b=20a cosA，则sin A: sinB:sinC为________。

Answer 1

因为a,b,c为连续的三个正整数，且A＞B＞C，所以a=b+1，c=b-1
根据余弦定理有：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(b^2+(b-1)^2-(b+1)^2)/(b-1)/b/2=(b-4)/(b-1)/2
代入已条件3b=20a cosA得：3b=20(b+1)(b-4)/(b-1)/2
3b(b-1)=10(b+1)(b-4)
7b^2-27b-40=0
(7b+8)(b-5)=0
b=5
于是a=6，c=4
根据正弦定理可知：sin A: sinB:sinC=6:5:4