如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰

Question

如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD． （1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD= ，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD 2 +AF 2 的值．

Answer 1

解：（1）①BF=AD，BF⊥AD。 ②BF=AD，BF⊥AD仍然成立。证明如下： ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC。 ∵四边形CDEF是正方形，∴CD=CF，∠FCD=90°。 ∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，即∠BCF=∠ACD。 在△BCF和△ACD中，∵BC=AC，∠BCF=∠ACD，CF=CD， ∴△BCF≌△ACD（SAS）。∴BF=AD，∠CBF=∠CAD。 又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°。∴∠AOH=90°。 ∴BF⊥AD。 （2）连接DF， ∵四边形CDEF是矩形，∴∠FCD=90°。 又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠FCD。 ∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，即∠BCF=∠ACD。 ∵AC=4，BC=3，CD= ，CF=1， ∴ B。∴△BCF∽△ACD。∴∠CBF=∠CAD。 又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°。∴∠AOH=90°。 ∴BF⊥AD。∴∠BOD=∠AOB=90°。 ∴BD 2 =OB 2 +OD 2 ，AF 2 =OA 2 +OF 2 ，AB 2 =OA 2 +OB 2 ，DF 2 =OF 2 +OD 2 。 ∴BD 2 +AF 2 =OB 2 +OD 2 +OA 2 +OF 2 =AB 2 +DF 2 。 ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB 2 =AC 2 +BC 2 =3 2 +4 2 =25。 ∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD= ，CF=1，∴ 。 ∴ 。

试题分析：（1）①证△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC，BF=AD，即可得出结论。 ②证△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC，BF=AD，即可得出结论。 （2）连接FD，根据（1）得出BO⊥AD，根据勾股定理得出BD 2 =OB 2 +OD 2 ，AF 2 =OA 2 +OF 2 ，AB 2 =OA 2 +OB 2 ，DF 2 =OF 2 +OD 2 ，推出BD 2 +AF 2 =AB 2 +DF 2 ，即可求出答案。