如图,在等腰RT△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足

Question

如图,在等腰RT△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF//AC交DE的延长线于点F，连接CF。

（1）求证：AD⊥CF

（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。

详细点!

Answer 1

（1）
因为DE⊥AB
所以角FDB=45°
又BF平行AC
得到三角形DBF是等腰直角三角形
所以BD=BF
由AC=BC
所以三角形ACD和CBF全等
所以角CAD=角FCB
角CAD+角ADC=角FCB+角ADC=90°
得证
（2）
由于DBF是等腰直角三角形，BE垂直于DF
所以DE=EF
所以直角三角形ADE和AFE全等
AD=AF
上面得到AD=CF
所以AF=CF
三角形ACF为等腰三角形

Answer 2

1）证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠BDE=45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF=90°．
∴∠BFD=45°=∠BDE．
∴BF=DB
又∵D为BC的中点，
∴CD=DB．
即BF=CD．
在△CBF和△ACD中，
BF=CD∠CBF=∠ACD=90°CB=AC
，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF=∠CAD．（4分）
又∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°．
即AD⊥CF
（2）△ACF是等腰三角形，理由为：
连接AF，如图所示，
由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF=AD，（8分）
∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形

Answer 3

（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠BDE=45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF=90°．
∴∠BFD=45°=∠BDE．
∴BF=DB．（2分）
又∵D为BC的中点，
∴CD=DB．
即BF=CD．
在△CBF和△ACD中，BF=CD∠CBF=∠ACD=90°CB=AC​，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF=∠CAD．（4分）
又∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°．
即AD⊥CF．（6分）

（2）△ACF是等腰三角形，理由为：
连接AF，如图所示，
由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF=AD，（8分）
∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形．（10分）

Answer 4

（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠BDE=45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF=90°．
∴∠BFD=45°=∠BDE．
∴BF=DB．（2分）
又∵D为BC的中点，
∴CD=DB．
即BF=CD．
在△CBF和△ACD中，BF=CD∠CBF=∠ACD=90°CB=AC​，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF=∠CAD．（4分）
又∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°．
即AD⊥CF．（6分）

（2）△ACF是等腰三角形，理由为：
连接AF，如图所示，
由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF=AD，（8分）
∵CF=AD，
∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形．（10分）

Answer 5

（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠BDE=45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF=90°．
∴∠BFD=45°=∠BDE．
∴BF=DB．（2分）
又∵D为BC的中点，
∴CD=DB．
即BF=CD．
在△CBF和△ACD中，

BF=CD∠CBF=∠ACD=90°CB=AC
，

∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF=∠CAD．（4分）
又∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°．
即AD⊥CF．（6分）

（2）△ACF是等腰三角形，理由为：
连接AF，如图所示，
由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF=AD，（8分）
∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形