复杂分式不等式的解题思路

Question

解分式不等式的时候，会有这种情况，如：（x+2）（x-3）（x-4）≤0
这种情况怎么办，可不可以概括一下具体的方法。

Answer 1

1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．

2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．
4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．
5．证明不等式的方法多样，内容丰富、技巧性较强．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．
6．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：1.审题，2.建立不等式模型，3.解数学问题，4.作答。
7．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．

Answer 2

这很简单的。
用穿针引线法或者说是数轴标根法
一个意思，叫法不同而已。

以此题为例。
就是先画一条数轴。
然后把-2，3，4标在数轴上。
（这应该知道是为什么吧，就是一般解方程。分开看就是（x+2)<=0,(x-3)<=0,(x-4)<=0,只是把它们乘在一起而已）

不懂的应该是如何定取值范围。
数轴上，从右到左，从上到下 画一条曲线穿过这三个点。大于0取上面的部分。
如果你不知道这种方法还是要去问老师，文字很难说清楚，要用图表示比较直观明了。

总结就是：
第一：最高次项系数化为正数。保证因式分解后各因式中x的系数为正。
第二：将这若干个根按从小到大的顺序标在数轴上，注意是空心点（不能取到）还是实心点（可以取到）。
第三：按照从右至左，从上至下的顺序画一条曲线,穿过这些点,注意“奇过偶不过”(奇次方的点过，偶次方的点不过)。

第四：根据第一步整理的不等式的不等号的方向来写出解集，大于号取在数轴上方的区间，小于号取在数轴下方的区间。

Answer 3

（1）能熟练运用不等式的基本性质来解不等式；

（2）在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上，掌握分式不等式、高次不等式的解法；

（3）能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式（组）来解；

（4）通过解不等式，要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想；

（5）通过解各种类型的不等式，培养学生的观察、比较及概括能力，培养学生的勇于探索、敢于创新的精神，培养学生的学习兴趣．

教学建议

一、知识结构

本节内容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上，进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则，将这些不等式等价转化为一次不等式（组）或二次不等式的求解，具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号，无理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式为：
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二、重点、难点分析

本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处,但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的,由于不等式的解集一般都是无限集,如果产生了增根却是无法检验加以排除的,所以解不等式的过程一定要保证同解,所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式 的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式,当 为一元一次式时,可直接解这个不等式组,但当 为一元二次式时,就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式,分别求解在求交集.

三、教学建议

(1)在学习新课之前一定要复习旧知识,包括一元二次不等式的解法,简单的绝对值不等式的解法,简单的分式不等式的解法,不等式的性质,实数运算的符号法则等.特别是对于基础比较差的学生,这一环节不可忽视.

(2)在研究不等式 的解法之前,应先复习解不等式组的基本思路以及不等式 的解法,然后提出如何求不等式 的解集,启发学生运用换元思想将 替换成 ,从而转化一元二次不等式组的求解.

(3)在教学中一定让学生充分讨论,明确不等式组“ ”中的两个不等式的解集间的交并关系，“ ” 两个不等式的解集间的交并关系.

(4)建议表述解不等式的过程中运用符号“ ”.

(5)建议在研究分式不等式的解法之前,先研究简单高次不等式(一端为0,另一端是若干个一次因式乘积形式的整式)的解法.可由学生讨论不同解法,师生共同比较诸法的优劣,最后落实到区间法.

(6)分式不等式 与高次不等式 的等价原因, 可以认为是不等式 两端同乘以正数 ,不等号不改变方向所得;也可以认为是 与 符号相同所得.

(7)分式不等式求解时不能盲目地去分母，但当分母恒为正数(如分母是 )时，应将其去掉，从而使不等式化简.

(8)建议补充简单的无理不等式 的解法,其中 为一次式.教学中先由学生研究探索得到求解的基本思路及方法,再由教师概括总结,得出结论后一定要强调不等号的方向对 的影响,即 保证了 ,而 却不能保证这一点,所以要分 和 两种情况进行讨论.

(9)求解不等式不仅要重视思路的理解,更要重视表述的规范,作为教师应给学生做出示范,学生通过模仿掌握书写格式,这样才有可能保证运算的合理性与结果的准确性.

教学设计示例

分式不等式的解法

教学目标

1．掌握分式不等式向整式不等式的转化；
2．进一步熟悉并掌握数轴标根法；
3．掌握分式不等式基本解法.

教学重点难点

重点是分式不等式解法
难点是分式不等式向整式不等式的转化

教学方法

启发式和引导式

分式方程的一般解题思路是:把分式方程"转化"为整式方程.转化的方法有去分母法,即用各分式的最简公分母去乘方程的两边;对于某些特殊形式的分式方程,还可用换元法来解.下面仅就一类特殊形式分式方程的解法予以阐述,供参本回答被提问者和网友采纳

Answer 4

求出三个根-2 3 4，画条实轴，标出三个根，画条曲线，过一个点穿越一次实轴，在实轴下面的就是小于0的部分，上面的就是大于0的部分，记住，从右面的实轴上面开始画

Answer 5

穿针引线法最容易。
第一：最高次项系数化为正数。保证因式分解后各因式中x的系数为正。
第二：将这若干个根按从小到大的顺序标在数轴上，注意是空心点（不能取到）还是实心点（可以取到）。
第三：按照从右至左，从上至下的顺序画一条曲线,穿过这些点,注意“奇过偶不过”(奇次方的点过，偶次方的点不过)。

第四：根据第一步整理的不等式的不等号的方向来写出解集，大于号取在数轴上方的区间，小于号取在数轴下方的区间。
区间讨论法。