点到面距离是怎么样的？

Question

如题所述

Answer 1

点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度。特殊的，当点在平面内时，该点到平面的距离为0。计算一点到平面的距离，通常可通过向量法或测量法求得。

有了上面的预备知识，我们就可以求点到平面的距离。

上图P点到平面的距离d就是向量RP的长度，而RP在n上的投影长度就是点P到平面的距离。

利用v在u上的投影公式：

由此得出点到平面的距离以矢量的表达方式为：

上面的公式中的Q点是平面上的任意一点，对于平面外的任意一点P来说，我们只有知道QP的向量即可，令Q是（0，0，0），那么QP=< x, y, z >。

根据我们前面谈到的平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，显而易见n=<A,B, C >是该平面的一个法线矢量，带入上面的公式就有点到平面的坐标表达式：

例题：求点P =(3,1,2)与平面x−2y + z = 5的距离(见下图)。

平面方程的系数为平面提供了一个法向量：n = < 1,2,1 >。找到向量。

Q→P，我们需要平面上的一个点。任意点都成立，设y = z = 0, Q =(5,0,0)点成立。

在平面上。求向量从Q到P的分量形式（即坐标形式）：

Q→P =〈3−5, 1−0, 2−0〉＝〈−2, 1, 2〉。

因此：

读者也可以把点P的坐标x=3, y=1, z=2,和平面方程的系数A=1, B=-2, C=1，D=-5z直接带入公式。