如图，⊙O的弦AB=10，P是弦AB所对优弧上的一个动点，tan∠APB=2，（1）若△APB为直角三角形，求PB的长；

Question

如图，⊙O的弦AB=10，P是弦AB所对优弧上的一个动点，tan∠APB=2，（1）若△APB为直角三角形，求PB的长；（2）若△APB为等腰三角形，求△APB的面积．

Answer 1

（1）△APB是直角三角形有两种情况： 作直径AP 2 、BP l ，连接P l A、P 2 B， ∴P 2 B=AB÷tan∠APB=5， P l B=AP 2 =5 5 ， 所以PB的长为5或5 5 ； （2）△APB为等腰三角形时有三种情况： ①PA=PB， ∵∠AOH=∠APB，AB=10 ∴OH= 5 2 ，∴OP= 5 5 2 ，PH= 5+5 5 2 ∴S △APB = 25+25 5 2 ； ②BA=BP， ∴∠GAB=∠APB 在⊙O上取一点P 4 使BP 4 =BA，连接AP 4 交P 1 B于G 设AG=k ∵tan∠APB=2 ∴BG=2k 由勾股定理得k=2 5 ∴S △APB =40； ③AB=AP与BA=BP情况相同 ∴S △APB =40．