中值定理的题，这个构造函数怎么求，题在图中

Question

如题所述

Answer 1

先通过还原法构造辅助函数
f''-2f'+2=0
令y=f'，则y'-2y+2=0
dy/(y-1)=2dx
ln|y-1|=2x+C
y-1=Ce^(2x)
(y-1)e^(-2x)=C
所以令g(x)=[f'(x)-1]e^(-2x)
因为lim(x->0) f(x)/x=1
所以f(x)是x的等价无穷小，即f(0)=0
且f'(0)=lim(x->0) [f(x)-f(0)]/x=lim(x->0) f(x)/x=1
因为f(0)=0，f(1)=1，所以根据拉格朗日中值定理，存在η∈(0,1)，使得
f'(η)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=1
因为g(0)=[f'(0)-1]e^0=0，g(η)=[f'(η)-1]e^(-2η)=0
所以根据罗尔定理，存在ξ∈(0,η)⊆(0,1)，使得g'(ξ)=0
g'(ξ)=f''(ξ)e^(-2ξ)-2*[f'(ξ)-1]e^(-2ξ)=0
f''(ξ)-2f'(ξ)+2=0
证毕