3.3.1 分形统计模型
设分形统计模型：
分形混沌与矿产预测
其中r表示特征尺度，C＞0称为比例常数，D＞0称为分维数，N（r）表示尺度大于等于r的数目（当分维数D前面的符号取负号，记为N（≥r））或尺度小于等于r的数目（当分维数D前面的符号取正号，记为N（≤r））.
为了研究方便，（3.3.1）式可分解为下面二式：
分形混沌与矿产预测
许多地质现象具有标度不变的特征.如岩石碎片、断层、地震、火山喷发、矿藏和油井等.这些现象的频数和大小之间的分布具有尺度不变性.分形分布的特点要求大于等于或小于等于某一尺度的数目，与物体大小之间存在幂函数关系，即（3.3.1）式的关系.例如r可表示金品位，N（≥r）表示金品位大于等于r的样品数目；r也可表示圆的半径，N（≤r）表示落入半径为r的圆中的矿体个数.
分形分布的特点要求大于某一尺度物体的数目，与物体大小之间存在着幂函数关系，地质现象的统计分布中，幂函数分形分布（即：幂函数分布、帕累托分布和齐波夫分布）不是惟一的一类，还有如对数分布等其他类型.但是幂函数分形分布是其中惟一的一类不含特征尺度的分布.这样，这些分布可以应用于那些具有标度不变性的地质现象.而标度不变性则提供了应用幂函数分形分布的基础.
模型的建立，其实是分形（相似性）模型的建立.利用相似性原理，建立模型单元，对预测单元进行分形处理和预测.
为了求出分维数D，将观测数据（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），绘在双对数坐标纸上，如果其散点大致分布在一条直线上的话，分维数D就可以利用直线的斜率求出，也就是说，将观测数椐（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），代入（3.3.1）式，然后两边取对数，（3.3.1）式化为一元线性回归模型：
分形混沌与矿产预测
用最小二乘法求出斜率D的估计量，即为分维数.目前几乎都用此方法（传统方法）求解分维数D.虽然用该方法求出D较简单，但结果可能不正确（Bethea，et al.，1985），应该用非线性回归模型的方法去估计参数C和D.
事实上，（3.3.1）式是非线性回归模型，其中C，D为未知参数，用非线性回归模型的中最小二乘法直接求出（3.3.1）式中参数D的估计量也是分维数.用这种新方法求出的分维数D比上面传统方法（即（3.3.1）式转化为一元线性回归模型（3.3.2））求出的分维数更精确（即误差更小）.
新方法有以下优点：
（1）使用传统方法求分维数D，要对原始数据（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），同时作对数变换，但是在大多数情况下，原始数据特别是（r1，r2，…，rn），不适合作对数变换.新方法直接用原始数据求分维数D，因而避免了以上情况出现.
（2）使用新方法可以求出分维数估计量的近似偏差和方差，同时也能求出近似预测偏差和预测方差.使用传统方法不能得到上述的结果（使用传统方法求出（3.3.2）式中D的偏差和方差，同使用新方法求出（3.3.1）式中D的偏差和方差有着根本区别）.
（3）使用新方法求出的参数估计量比使用传统方法求出的参数估计量在拟合分形模型时更好，即剩余平方和更小（剩余平方和是衡量拟合的优良程度的定量指标），并且参数估计量更稳定.
3.3.2 分形统计模型模拟研究
我们在计算机上产生了［0，1］区间上的均匀分布，标准正态分布和对数正态分布的随机数各10 000个，将每种分布的随机数分成10组（即每组1000个随机数，共有30组），用于分形统计模型的模拟研究.
将每组1000个随机数，按从小到大的次序排列，并把随机数分布的总区间分成k个子区间，统计进入第i个子区间内的随机数的频数NFi（i=1，2，…，k），令，其中r为正整数.
这样得到了数据（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），将这些数据代入分形统计模型（3.3.1″），应用最小二乘法，可求出分维数估计量.
具体计算结果见表3-1，表3-2和表3-3.
表3-1 均匀分布分维数估计量D^
表3-2 正态分布分维数估计量D^
表3-3 对数正态分布分维数估计量D^
在表3-1，表3-2，表3-3中：①对于均匀分布的随机数，取k=150，n=26，ri=2i（i=1，2，…，26）；②对于正态分布的随机数，取k=80，n=21，ri=2i+10（i=1，2，…，21）；③对于对数正态分布的随机数，取k=100，n=21，ri=2i（i=1，2，…，21）；④对于不同分布的随机数据，k和r的取值范围也不相同，主要依据数据（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），在此范围内，存在无标度区和统计上的要求；⑤随机数抽取样本1000个，符合统计推断的要求条件.
由表3-1，表3-2和表3-3中的数据可推出以下的结果：
（a）用新方法求出分维数估计量比使用传统方法求出分维数估计量更趋于稳定.因为标准差是数据分散程度的定量描述，标准差越小，数据越集中于平均数附近.
（b）分维数D值可以表征随机数或样本之间的结构性.根据分形统计模型（3.3.1″）可看出，D值越小表示随机数或样本之间的差异越小，即均匀程度好，反之，D值越大表示随机数或样本之间的差异越大，即均匀程度差.均匀分布（均匀程度好）的随机数分维数（平均值0.1287）小于正态分布（均匀程度居中）的随机数分维数（平均值0.6853）小于对数正态分布（均匀程度差）的随机数分维数（平均值0.9762）.以上结论与实际情况符合.
3.3.3 应用实例
西藏罗布莎铬铁矿成矿预测.
西藏罗布莎铬铁矿矿床是我国目前已知最大的铬铁矿矿床，已探明的铬铁矿石储量近500万t，占全国探明储量的三分之一以上.因而，对西藏罗布莎铬铁矿矿床进行成矿预测工作具有非常重要的意义.
罗布莎蛇绿岩体地处著名的雅鲁藏布江蛇绿岩带的东段，位于冈底斯火山-岩浆弧的南侧，岩体呈向北凸出的弧形展布于晚三叠世巨厚的浅变质砂板岩夹少量结晶灰岩和细碧角斑岩的复理石建造与晚白垩世海相火山岩、放射虫硅质岩以及第三系山间磨拉石建造之间，岩体平面形态似透镜状，局部被断层错开，主体呈东西向延伸，长约30km，最宽处约3km（李紫金等，1993）.
通过对该矿床的研究，认为地表矿体、矿群、矿床储量的空间分布具有较好的分形结构特征即自相似性，可用分形统计（3.3.1′）模型作为第四系覆盖区下找矿远景地段矿体、矿群及其资源量的预测模型.
1.地质条件
研究表明，尽管罗布莎矿段与香嘎山矿段矿体出露的标高及在地幔橄榄岩中的位置略有不同、岩石矿石化学成分及物性表现上有所差异，但它们均处于同一地幔橄榄岩内，属于同一成岩成矿作用的产物，原始的构造含矿杂岩带统一，经构造解析，认为全区的矿体在同一构造含矿杂岩带内.因而，将模型区扩大到整个两矿段地区，在地质上是可行的.
2.数学条件
罗布莎铬铁矿矿床自相似性体系的矿床诸参数表现出自相似性，将观测数据（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），绘在双对数坐标系统中（即lgN（r）—lgr），连接各点，曲线存在明显的直线段，即存在无标度区.自相似性是事物在一定尺度范围（无标度区）内不随观察尺度变化的性质，无标度区一部分所得到的结论可以外推到整个无标度区.模型区地表矿体、矿群及其储量的空间分布在5～40cm的范围（无标度区）内具较好的分形结构即自相似性.因此，在矿床自相似性体系内，可以将该无标度区的上限外推至55cm，此时分形结构不发生改变或改变不大.
3.模型区与预测区的相似类比
预测的矿体及矿群是第四系覆盖区下基岩表层的矿体及矿群，预测的资源量是与模型区C+D级储量对应的矿量.第四系的研究表明，预测区的第四系为残坡积物及少量的冰碛物，所以认为模型区与预测区地表风化剥蚀状况及矿体的保存条件近于相似，模型可以外推.
4.资料来源及参数估计
（1）地表矿体
模型区内，在1∶10000地形地质图上标出的分布于构造含矿杂岩带内的地表矿体共152个（见图3-1和图3-2），把每个矿体看成是以其中心为代表的一个点（图3-3和图3-4）.以矿体分布的重心或中心为圆心，圆心不动，以不同的半径r画圆，计算每次落入圆中矿体的个数，记为N（r）（表3-4）.在lgr—lgN（r）坐标中投点，用最小二乘法拟合直线，得直线方程为：
分形混沌与矿产预测
以D（0）=0.7841，C（0）=100.9348=8.6060为迭代初值，使用新方法求得分形统计模型（3.3.1′）式中最小二乘估计量（分维数），量，剩余平方和Q（0.7568，9.4039）=114.6947＜Q0（0.7841，8.6060）=125.3347.最大固有曲率ΓN=0.03418＜0.220=1/（2F1/2（2，6，0.05））（见附录A）.此时分形统计模型（3.3.1′）固有非线性强度很弱，可以忽略不计.因此分形统计模型（3.3.1′）可作为地表矿体预测的数学模型.即：
分形混沌与矿产预测
表3-4 地表矿体数据
（2）地表矿群
在1∶10000地形地质图上，模型区构造含矿杂岩带中的矿群14个.每个矿群可看成是以其中心为代表的一个点.圆心及半径的定义与地表矿体的相似，r的取值仍与地表矿体的相同.圆心不动，以不同的半径r画圆，计算每次落入圆内的矿群个数，记为N（r）（表3-5），在lgr—lgN（r）坐标中投点，用最小二乘法拟合直线，得直线方程为：
分形混沌与矿产预测
以D（0）=0.8982，C（0）=10-0.3130=0.4864为迭代初值，使用新方法求得分形统计模型（3.3.1′）式中最小二乘估计量（分维数），量，剩余平方和Q（0.9298，0.4384）=1.3014＜Q0（0.8982，0.4864）=1.38，最大固有曲率ΓN=0.04715＜0.2205=1/（2F1/2（2，6，0.05））（见附录A）.此时分形统计模型（3.3.1′）固有非线性强度很弱，可以忽略不计，因此分形统计模型（3.3.1′）可作为地表矿群预测的数学模型.即：
分形混沌与矿产预测
表3-5 地表矿群数据
图3-1 罗布莎地区构造略图
图3-2 罗布莎—章嘎构造剖面图
（3）矿床储量
在1∶10000地形地质图上，对模型区内构造含矿杂岩带里的C+D级铬铁矿石储量4211418t的分布资料进行研究.圆心及半径的定义与地表矿体的相似，圆心不动，计算在不同的r半径下落入球（实际为圆，因为将储量的分布投影到1∶10000地形地质图上）内的C+D级矿石储量，记为N（r）（表3-6），在lgr—lgN（r）坐标中投点，用最小二乘法拟合直线，得直线方程为：
分形混沌与矿产预测
以D（0）=0.7048，C（0）=105.5101=323668.176为迭代初值，使用新方法求得分形统计模型（3.3.1′）式中最小二乘估计量（分维数），剩余平方和Q（0.6654，367166.9）=0.3350161×1012＜Q0（0.7048，323668.176）=0.3551732×1012，最大固有曲率ΓN=0.06086＜0.2205=1/（2F1/2（2，6，0.05））.此时分形统计模型（3.3.1′）固有非线性强度很弱，可以忽略不计，因此分形统计模型（3.3.1′）可作为矿床储量预测的数学模型.
即：
分形混沌与矿产预测
表3-6 地表矿石储量数据
图3-3 见矿孔在水平投影面上的投影点图
5.预测结果及参数意义的解释
以矿群上最大的矿体为圆心，r=5，10，15，…，50，55cm（1∶10000地形地质图上），将r回代入上面（3.3.3），（3.3.4）和（3.3.5）式中，计算在r=55cm总的数量减去已知数量即为香嘎山矿段第四系下预测的资源量.结果为：“地表”矿体43个，“地表”矿群4个（取整），资源量（铬铁矿石）：1071815.342t.矿石质量：矿石以致密块状为主，少量为稠密浸染状矿石，w（Cr2O3）=52.7；铂族元素总量平均品位为0.497g/t，总资源量为532.692kg.预测结果与常规方法计算结果较一致（见图3-5，图3-6和图3-7）.
密度定义为：ρ=N（r）/（πr2）=（C/π）rD-2
当 D=2.0 时，密度ρ=C/π.表明密度均匀；
当 D＞2.0 时，密度ρ随着r的增大而增大；
当 D＜2.0 时，密度ρ随着r的增大而减少；
当 r=1.0 时，C=πρ=N（1）.
0.6654（矿床储量分维数）＜0.7568（地表矿体分维数）＜0.9298（地表矿群分维数）＜2表明：随着r的增大，矿床储量，地表矿体和地表矿群的密度逐步减少.
因此分维数D定量表达了矿体分布的密度变化趋势.C表示矿体分布的初始值，它们对矿产资源勘查、预测与评价具有重要的指导意义.
图3-4 矿体中心在E—W向垂直投影面上的投影点图
图3-5 矿体原始数据曲线拟合图
图3-6 地表矿群原始数据曲线拟合图
图3-7 矿床储量原始数据曲线拟合图