元素在地壳中的分布具有不均匀性和区域随机性特征。从具有随机性的地球化学数据中了解元素分布规律是地球化学研究者所面临的难点之一。统计方法在这方面起着不可替代的作用。然而人们早已注意到普通的统计方法并不考虑样品的空间分布和统计特征随空间度量尺度的变化性。此外，由于一般的统计方法是建立在统计大数定量基础之上的，因而这些统计方法（一、二阶矩有关的统计方法）往往对度量元素的一般值效果较好，严格地说它们并不具备刻画异常值的功能，分形理论则是研究这类复杂系统时空结构特征的有效途径，可以通过多重分形理论清楚地反映出统计方法的这些局限，而且能有效地克服统计方法的不足，它是一种研究具有自相似或统计自相似场的分布规律和描述场值的奇异性的有效方法，可以用于研究与矿化有关的微量元素在岩石、水系沉积物和土壤等介质中的空间分布和富集规律。成秋明等指出，与矿化有关的微量元素地球化学场具有多重分形结构特征，微量元素的背景值往往服从正态或对数正态分布，而高低异常值则服从多重分形分布。本次应用多重分形的面积校正累计频率法，对云南老君山矿田的17个微量元素进行了研究，初步探讨了主成矿元素、伴生元素和非成矿元素的空间变化和富集规律。
2.3.4.1 计算方法
地球化学采样点往往不是网格化的，局部区域可能采样较密或较稀甚或缺失。若直接应用原始样品分析数据进行元素含量频率分布研究，则可能过分强调采样较密的局部区域而相对忽视采样较稀的局部区域，不能真实地反映区域内元素含量值的分布特征。浓度-面积法计算大于含量值ci（i＝1，2，…，n；n为含量值分组数cmin≤ci≤cmax）的面积S（C≥ci），然后在双对数坐标下考察ci-S（C≥ci）间是否存在幂率关系（即分形）。对于S（C≥ci），采用两种途径来确定：①在对原始数据加权移动平均（Weighted moving average method）插值后制作的地球化学等值线图上，S（C≥ci）为含量值C大于ci的等值线圈闭的区域面积；②统计原始含量数值的盒子，即用边长确定的正方形网格覆盖研究区，S（C≥ci）等于具有含量值大于ci的正方形网格数，如果在正方形中不止一个样品，则取平均值作为该网格的含量值。众所周知，等值线的计算意味着网格结点的估值运算，运用移动平均、距离系数加权移动平均、克里格法和泛克里格法等网格估值方法可能产生不同的效果，局部特高值点（outlier）可能使邻近网格点的估值普遍偏高，导致孤立高值点拉高一大片，内部的采样空白区也可能以很不准确的估计值来代替。由此看来，本方法存在着固有的不足。
本书采用第二种方法，即面积校正累计频率法研究元素含量频率分布，其计算步骤如下。
以一网格覆盖采样区域，记采样空间坐标（x，y）的最小、最大值分别为xmin、xmax和ymin、ymax，则x和y方向的网格数nx和ny应满足：
（xmax-xmin）/nx＝（ymax-ymin）/ny（2.1）
d·nx·ny＝n （2.2）
式（2.1）表明x，y方向应具有相同的网格间距，式（2.2）说明总网格数乘以平均网格密度d应为总样品数n。由式（2.1）、式（2.2）可解出nx和ny，从而确定所需的覆盖网格。平均网格密度d值可取1～2，使得采样较密区域的网格内有2个或2个以上样品，采样较稀区域的网格内有1个样品，部分网格内没有样品，即为采样空白区。过大的d值会产生数据的“平滑”。本例中d取值为1.5。
计算各个网格元素含量平均值C，并对C值进行累计频率计算，即选定一组c＝｛ci｝（i＝1，2，…，n）为非空网格数cmin≤ci≤cmax，统计所有网格平均值C大于c的网格数N（C＞c），最后在双对数坐标下绘制C-N（C＞c）曲线。因C值反映了采样面积校正后的含量分布，称其为面积校正累计频率（Area⁃calibrated accumulative⁃frequency，ACAF）法，其结果与浓度-面积模型方法只相差一个常系数，即单位网格的面积，不影响双对数坐标下曲线的形态。可见，ACAF既消除了由于样品点分布不均一的影响，又不会因孤立高值点导致其邻近等值线畸变，解决了难以剔除采样空白区的问题，且算法简单。ci值按下式确定：
ci＝cmin·exp［（i-1）δ］，i＝1，2，…，ns（2.3）
δ＝（1/ns）ln（cmax/cmin）（2.4）
式中：cmin为最小平均含量；cmax最大平均含量；δ为校正系数。使得ci在对数坐标下为等距，否则容易导致数据点在低含量区过稀而在高含量区过密，影响对其分布模式的总体认识。ns为计算累计频率的分组数，因元素不同而取值不一。
2.3.4.2 讨论
1）在C-N图（图2.15）中，元素含量与个数的投影点呈现出连续的曲线分布趋势，而不是单一的直线分布所表示的简单分形，显示出一种连续分布趋势的多重分形特征。
2）双对数坐标下各元素含量的曲线有两近似线性段。第一近似线性段大致反映了介于检出限到测定下限之间或测定下限附近的低值波动；另一近似线性段跨越了主要的含量区间，反映了地球化学场的内部分形特征。参数b1、b2（表2.7）为这两个近似线性段经最小二乘法拟合的直线斜率的负值，即累计频率分布的幂率。
表2.7 老君山矿田微量元素多重分维值
3）元素含量频率分布曲线上的两近似线性段之间为非连续过渡，并有截然的转折点，且第一直线段只反映了介于检出限到测定下限之间或测定下限附近的低值波动，与一些研究者根据两线性段的转折点作为异常下限区分污染区或者部分元素相对集中的地区中一些元素的地球化学背景和异常的结论一致。
4）在部分图像中出现了星点状拖尾现象，均为高值点，这可以解释为局部成矿异常明显。
5）根据有些学者利用分维数（b）表示元素的分布偏离正态分布的程度。多分维数值反映了多次矿化事件的叠加，一个分维值代表了一次矿化（成矿阶段或成矿期），本区成矿亦可分为多期多阶段。从分形曲线的拐点和间断性也可以判断矿区存在多期次成矿活动，因此多分形研究对确定不同成矿期次及同一成矿期次的不同成矿阶段是有意义的，但对成矿期次的判别除根据拐点的明显间断外，还应结合矿床地质方面的专门性研究做出判断。
6）元素中b值的大小变化可以解释为：b值越小，即直线越平缓，元素的低含量点到高含量点的变化频率下降得越慢，元素含量在空间上的丛集程度越高，就存在着较多的高含量点，有富集成矿的趋势；b值越大，则高含量点分布较少，主要含量点集中在低含量区，也就不存在大规模富集成矿的可能。
因此，结合以上结论及表中数据，我们可以做出如下推断：首先，图中所有元素含量与个数的投影点呈现出连续的曲线分布趋势，而不是单一的直线分布所表示的简单分形，这显示出一种连续分布趋势的多重分形特征，拟合的线段由两条直线组成，即维度为2，从分形曲线的拐点和间断性也可以判断矿区存在至少两期次成矿活动，这对于两条直线相交交角较小的Mn、Cr、Ni、V、Ti、Hg几种元素表现得较为明显。其次，元素中b值的大小体现了元素含量在空间上的丛集程度和不均匀程度，尤其对于b2这组值，值越小，表示高含量点分布越集中，加之如果其平均含量也较高的话，则可视为成矿元素，因此Sn、Ag、Zn、Pb、Cu、W这几种元素从微量元素分形角度看，可以认为是主要成矿元素（表2.8）。
图2.15 老君山矿田微量元素含量的ACAF曲线
表2.8 老君山矿田微量元素分维值取值范围及分类