定积分和不定积分的异同

Question

如题所述

Answer 1

不同：
不定积分
定积分
定义：
原函数族
分割、近似求和、取极限
“输入”：
函数f
函数f
及积分上下限a,b
“输出”结果
原函数族
实数（定积分值）
（包含积分常数）
相通：
1
变上限积分函数（即定积分值随上限变化产生的函数）即为一个原函数（加上积分常数后即为不定积分）
有些函数(如e^(-x^2))的原函数不是初等函数，也就是说不定积分写不出来。但是其定积分可以通过某些手段求得或近似求得，此时可以近似得用定积分的结果来计算原函数的某些性质，如增减性、极值、图像等等。
2
(牛顿-莱布尼茨公式）:
定积分的值可以表示为函数的任意一个原函数（可以通过不定积分来求解）在积分上下限的函数值之差。
由于这个公式的存在，我们一般是通过计算不定积分的结果来计算定积分的。
3
两种积分的存在性是相同的。由于不定积分的存在性较难讨论，我们一般是通过被积函数在任意区间上的定积分是否存在来讨论函数是否“可积”的。

Answer 2

定积分有几分上限和几分下限，不定积分没有。定积分的值就是用不定积分得到的结果，把上限带入结果减去下限带入结果的值：（上限带入不定积分结果）-（下限带入不定积分结果）=（定积分结果）

Answer 3

不定积分的结果是一个表达式
定积分本质上是对不定积分确定一个范围而求得的值
也可以这么说。求不定积分是求一个函数，而求定积分则是某一个函数在给定条件下的值。