高中数学数列题

Question

已知数列{An}的前n项和为Sn,a1=1,且3A(n+1)+2Sn=3(n为正整数）
(1)求数列{An}的通项公式
(2)若对任意正整数n，是否存在k∈R，使得Sn>=k恒成立，若存在，求实数k的最大值，若不存在，说明理由
没打错！！！

Answer 1

解答： 由题意：

（1) A(n+1)=S(n+1)-S(n)

又 3A(n+1)+2Sn=3 故： 3{S(n+1)-S(n)}+2S(n)=3

化简得： 3S(n+1)-S(n)=3 故 3{S(n+1)-3/2}=S(n)-3/2

故 S(n)-3/2 为等比数列且 首项为 -1/2 公比为 1/3

故： S(n)-3/2=S(1)*q^(n-1)=-1/2*(1/3)^(n-1)

S(n)=-1/2*(1/3)^(n-1)+3/2

故：A（n）=S(n)-S(n-1)=-1/2*(1/3)^(n-1)+1/2*(1/3)^(n-2)

=(1/3)^(n-1)

(2)由以上计算知道： S(n)=-1/2*(1/3)^(n-1)+3/2

显然，S(n)是关于n的增函数 故而 S(n)>=S(1)=1

回答完毕

Answer 2

（1）因为3A(n+1)+2Sn=3，所以3A(n)+2S（n-1）=3
两式相减，得3A(n+1)-3A(n）+2A(n)=0,A(n)=3A(n+1)
因为a1=1.所以A(n)≠0,A(n+1)/A(n)=1/3
所以An=(1/3)^(n-1)
(2)因为An=(1/3)^(n-1)，所以Sn=3/2×[1-（1/3)^n]
因为n≥1,所以（1/3)^n≤1/3，1-（1/3)^n≥2/3，Sn≥1
要使Sn≥k恒成立，则k≤1，k的最大值是1
所以存在k∈R，使得Sn≥k恒成立，k的最大值是1

Answer 3

3A(n+1)+2Sn=3，由此知3An+2S(n-1)=3.
两式相减得3A(n+1)=An
所以An=（1/3）^(n-1)
k是存在的
因为Sn=[1-(1/3)^n]*(3/2)
所以k最大值为1

附，怎么感觉楼主打错了呢，应该是Sn<=k吧
如果是这样，那么根据Sn的通项公式，k的最大值为3/2.

Answer 4

3A(n+1)+2SN=3,3An+2S(N-1)=3相减得3A(n+1)=A(N)n>=2令n=1代入得3A2+2S1=3，s1=a1,a2=1/3,an=(1/3)的n-1次方，
第二问sn=3/2(1-<1/3>的n次方），当n变大时，sn变大，故k最大为1及s1