拉格朗日中值定理条件

Question

如题所述

Answer 1

拉格朗日（Lagrange）中值定理若函数f（x）满足条件：

在闭区间［a，b］上连续；显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f（a）＝f（b）时的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。

证：设x1，x2是区间（a，b）内的任意两点，且x1＜x2，则函数f（x）在区间［x1，x2］上满足拉格朗日终值定理的条件。

所以在（x1，x2）内至少存在一点ξ，使得f（x2）-f（x1）＝f＇（ξ）（x2-x1）。

由假设知f＇（ξ）＝0，所以f（x1）＝f（x2）。

扩展资料

推论1：如果函数f（x）在区间（a，b）内任意一点的导数f＇（x）都等于零，那么函数f（x）在（a，b）内是一个常数。

由于x1，x2是（a，b）内的任意两点，所以函数f（x）在（a，b）内的函数值总是相等的，即函数f（x）在（a，b）内是一个常数。

由此可知，函数f（x）在（a，b）内是一个常数的充分必要条件是在（a，b）内f＇（x）＝0。

推论2：如果函数f（x）与g（x）在区间（a，b）内每一点的导数f＇（x）与g＇（x）都相等，则这两个函数在区间（a，b）内至多相差一个常数。

即f（x）＝g（x）＋C，x∈（a，b）.这里C是一个确定的常数。若连续曲线y＝f（x）在区间［a，b］上所对应的弧段AB，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，且在弧的两个端点A，B处的纵坐标相等，则在弧AB上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于x轴。