拉格朗日中值定理的证明

Question

如题所述

Answer 1

定义

如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)   上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。

定理内容

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:

(1)在[a,b]连续

(2)在(a,b)可导

则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

证明:

把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.

做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a). 

易证明此函数在该区间满足条件: 

1.G(a)=G(b);

2.G(x)在[a,b]连续;

3.G(x)在(a,b)可导.

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证

几何意义

若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直与x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.

Answer 2

拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。
怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的
去。
罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o
(如图1)。
拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_
∈，使
(如图2).
比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f
，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为:
1.首先分析要证明的等式：
我们令
……(1)
则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈
t就可以了。
由
有，f(b)-tb=f(a)-ta……(2)
分析(2)式，可以看出它的两边分别是f(x)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数f(x)=f(x)-tx。该函数f(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且
f(a)=f(b)
。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f。(∈)=o。也就是f(∈)-t=o，也即f(∈
)=t，代人(1
)得结论
2.考虑函数

我们知道其导数为
且有
f(a)=f(b)=0.
作辅助函数
，该函数f(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f
f
。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f’
从而有
结论成立.

Answer 3

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件: (1)在[a,b]连续 (2)在(a,b)可导 则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
证明: 把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a). 易证明此函数在该区间满足条件: 1.G(a)=G(b); 2.G(x)在[a,b]连续; 3.G(x)在(a,b)可导. 此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证

Answer 4

可以，但是这么证明不好，且证明的定理和原定理有一些不同。如果用积分中值定理就要构造F(x)=∫f(x)dx（积分限a到x），由于f(x)在[a,b]连续，因此F(x)在(a,b)可导，根据积分中值定理，F(b)-F(a)=∫f(x)dx（积分限a到b）=f(ξ)(b-a)。仔细考察这个证明过程，首先f(x)在(a,b)内可导这个条件没有用上，只给f(x)在[a,b]连续就可以推出结论。但是在F(b)-F(a)=f(ξ)(b-a)中的f(x)实际相当于拉格朗日中值定理中的f'(x)，所以这里要求f(x)连续就是要求在拉格朗日中值定理中f'(x)连续，而这是原定理中没有的条件。所以这样实际证明的是：如果f‘(x)在[a,b]连续，则存在ξ属于(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。这个定理比原定理的条件多，因此这个定理“不好”。

Answer 5

[编辑本段]定义
　　如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
　　f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x
(0<θ<1)
　　上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，
　　因此本定理也叫有限增量定理
[编辑本段]定理内容
　　若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:
　　(1)在[a,b]连续
　　(2)在(a,b)可导
　　则在(a,b)中至少存在一点c使f"(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
[编辑本段]简捷证明
　　证明:把定理里面的c换成x在不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.做辅助函数G(x)=f(x)-{f(b)-f(a)]/(b-a)}x易证明此函数在该区间满足条件:1,G(a)=G(b);2.G(x)在[a,b]连续;3.G(x)在(a,b)可导.此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证