函数的微分和导数有什么不同？

Question

如题所述

Answer 1

1. 求微分和求导的定义不同。求微分关注的是函数在某一无穷小区间内的变化，而求导关注的是自变量增量趋于零时因变量增量的极限。
2. 函数的定义可以从传统和近代两个角度来理解。传统定义关注函数的运动变化，近代定义则从集合和映射的角度出发。无论是传统还是近代定义，函数都包含定义域、值域和对应法则这三个要素。
3. 如果一个函数在某点的邻域内可微，那么它的增量可以表示为微分与自变量增量的乘积。微分是函数增量的主要部分，是自变量增量的线性主部。
4. 函数的微分与自变量的微分之比等于函数的导数，导数也被称为微商。在一元微积分中，函数可微和可导是等价的。
5. 微分概念的产生是为了解决直线与曲线的矛盾，通过微小局部的直线近似来表示曲线。微分的应用之一是函数的线性化，它使得我们可以用线性函数的数值近似来代替原函数的数值，这是微分方法进行近似计算的基本思想。