第1个回答 2014-09-12
解:
(1)因为OA=F1A=c=OF1=OF2,故三角形AF1F2是直角三角形.
∵|F1A|=c,|F1F2|=2c
∴|F2A|=√(|F1F1|²-|F1A|²)=√3c
由椭圆的定义知:
|AF1|+|AF2|=2a
c+√3c=2a
∴e=c/a=2/(1+√3)=√3-1
(2)
∵函数y=√2+logm(x)的图像恒过点(1,√2)
∴a=√2,b=1,c=1
点F1(-1,0),F2(1,0)
①若AB⊥x轴,则A(-1,√2/2),B(-1,-√2/2)
∴向量F2A=(-2,√2/2),向量F2B=(-2,-√2/2),向量F2A•向量F2B=4-1/2=7/2
②若AB与x轴不垂直,设直线AB的斜率为k,则AB的方程为y=k(x+1)
由
{y=k(x+1)
{x²+2y²-2=0
消去y得(1+2k²)x²+4k²x+2(k²-1)=0 (*)
∵Δ=8k²+8>0
∴方程(*)有两个不同的实根
设点A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1,x2是方程(*)的两个根
x1+x2=-4k²/(1+2k²)
x1x2=2(k²-1)/(1+2k²)
向量F2A=(x1-1,y1),向量F2B=(x2-1,y2),
向量F2A•向量F2B=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+k²)x1x2+(k²-1)(x1+x2)+1+k²
=(1+k²)[2(k²-1)/(1+2k²)]+(k²-1)[-4k²/(1+2k²)]+1+k²
=(7k²-1)/(1+2k²)=7/2-[9/2(1+2k²)]
∵1+2k²≥1
∴0<1/(1+2k²)≤1,0<9/[2(1+2k²)]≤9/2
-1≤向量F2A•向量F2B=7/2-[9/2(1+2k²)]<7/2
由①②知:
-1≤向量F2A•向量F2B<7/2