一道初二关于相似三角形的题

Question

如图，ΔABC中,D为BC中点，AD=AC，DE垂直BC，与AB交于E，EC与AD相交与点F，求证：（1）ΔABC相似ΔFCD （2）AF=FD

Answer 1

（1）因为ED垂直于BC，所以∠EDB=∠EDC=90°，又因为D为中点，所以BD=DC，且ED=DE,所以△BDE全等△EDC，所以∠B=∠ECD，又因为AD=AC，所以∠ADC=∠ACD，所以ΔABC相似ΔFCD（角角）
（2）因为ΔABC相似ΔFCD，所以FD/AC=CD/BC，因为D为中点，所以FD/AC=CD/BC=1/2,又因为AC=AD，所以FD/AD=1/2,所以F为中点，所以AF=FD。
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Answer 2

由已知得：ED垂直于BC，又因为D是BC的中点，所以得BEC是等腰三角形，即BE=EC，所以角EBC=角ECB，又因为AD=AC，所以角ADC=角ACD

三角形ABC与三角形FCD有两个角各自相等，所以两者相似

由两者相似得到FD/AC=DC/BC=1/2（D是中心）

所以FD=AC/2=AD/2，又因为AD=FD+AF

所以AF=FD

Answer 3

证明：（1）因为D为BC中点，且DE垂直BC，则EB=EC,所以角EBC=角ECD
又AD=AC 角ADC=角ACB ΔABC与ΔFCD两角对应相等 可证明其相似
（2）由（1）ΔABC相似ΔFCD 则对应边成比例 FD/AC=CD/BC=1/2
即AC=2FD 又AD=AC 则AD=2FD AF=FD

Answer 4

(1)∵BD=CD
ED⊥CD
∴△EDB全等于△EDC
∴∠ABC=∠DCF
又∵在△ADC中 AD=AC
∴∠ADC=∠ACD
可得：∵∠ABC=∠DCF
∠ACB=∠ADC
∴△ABC相似△FCD

(2)∵△ABC相似△FCD
CD=1/2BC
∴DF=1/2AC=1/2AD
∴DF=AF

Answer 5

（1）、因为 DE垂直BC，BD=CD，所以DE是BC垂直平分线，所以 角ABC＝角FCD
又 AD=AC ，所以 角ACD＝角FDC
综上，ΔABC相似ΔFCD
（2）、因为 ΔABC相似ΔFCD ，所以BC：CD＝AC：FD＝2：1，所以 AC＝2FD
又 AC＝AD，所以 AD＝2FD＝FD+AF,
所以 AF＝FD

Answer 6

1. 因为AD=AC
所以角ADC=角ACD
因为DE垂直BC且D为BC中点
所以ΔBDE全等于ΔCDE
所以角ABC=角FCD
因为角ADC=角ACD
所以ΔABC相似ΔFCD