如图,在三角形ABC中,AB等于AC,D为BC边上的中点,DE垂直于AB于E,DF垂直于AC于F。(1)求证：DE等于DF

Question

（2）过B作BM垂直于AC于M，D为BC的重点改为D在BC上，其余条件不变，问DE、DF、BM的关系是怎样？说明理由；
（3）若把D改为D在BC的延长线上，其余条件不变，上面条件是否成立？若成立，说明理由；若不成立，DE、DF、BM的关系又怎样？并给出结论。

Answer 1

证明：（1）连结AD。因D是BC边的中点，所以AD是BC边的中线，也是角A的角平分线（等腰三角形三线合一），故DE＝DF（角平分线上的点到角两边距离相等）。 （2）因为SΔABC＝SΔABD＋SΔACD，利用三角形面积公式，我们可以把上式写为：AC*BM/2＝AB*DE/2＋AC*DF/2，注意到AB＝AC，将上式两边同乘2/AC，得：BM＝DE＋DF。 （3）若D在BC延长线上，则SΔABC＝SΔABD－SΔACD，那么AC*BM/2＝AB*DE/2－AC*DF/2，于是BM＝DE－DF。

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Answer 2

证明：（1）连结AD。
因D是BC边的中点，
所以AD是BC边的中线
也是角A的角平分线（等腰三角形三线合一）
故DE＝DF（角平分线上的点到角两边距离相等）。

（2）因为SΔABC＝SΔABD＋SΔACD，
利用三角形面积公式，我们可以把上式写为：AC*BM/2＝AB*DE/2＋AC*DF/2，
注意到AB＝AC，
将上式两边同乘2/AC，
得：BM＝DE＋DF。
（3）若D在BC延长线上，
则SΔABC＝SΔABD－SΔACD，
那么AC*BM/2＝AB*DE/2－AC*DF/2，
于是BM＝DE－DF。