初二奥数题，数学高手进

Question

如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=40°，P为三角形内的一点，且∠PCA=20°，∠PAB=20°，求∠PBC的度数。

答案是以AP为边在△APC内画等边三角形，还有其他方法吗？
提示：以一条边画等边三角形，证明全等。

http://hi.baidu.com/82060517/album/item/ec7418b6de7c01d933add167.html
答案是30°

Answer 1

另外一种方法：

解答要点：
作P关于BC的对称点D，连接CD、BD、AD
则由∠ACP＝∠BCP＝20°，∠PAB＝20°，
得∠PAC＝80°，从而∠APC＝80°
所以CA＝CP＝CD
由对称知∠BCD＝∠PCB＝20°
所以∠ACD＝60
得等边三角形ACD
所以∠CAD＝∠CDA＝60°，AD＝AC＝AB
所以∠PAD＝20°＝∠PAB
得△PAB≌△PAD
所以∠PBA＝∠PDA
而∠CPD＝70°，得∠APD＝70°＋80°＝150°
所以∠PDA＝180°－150°－20°＝10°
所以∠PAB＝10°
则∠PBC＝40°－10°＝30°

（另外也可以由△PAB≌△PAD得三角形PBD是等边三角形解决后面的问题）

如果以AC为边作等边三角形ACD也行，图形一样，过程有所区别

江苏吴云超祝你学习进步

参考资料：http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/835a55888b5048b90f2444c7.html