反函数问题

Question

函数log3<以3为底> (x+5)的反函数是多少?

请把步骤写具体,谢谢,我完全不会,不写具体很难看懂

Answer 1

y=log3(x+5)
反函数
y=3的x次方-5
一、 反函数的概念

反函数的定义

函数y＝f（x）（x∈A）中，设它的值域为C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝（y）。如果对于y在C中的任何一个值，通过x＝（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x＝（y）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作x＝（y）。

在函数x＝（y）中，y是自变量，x表示函数。但在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x＝（y）中的字母x，y，把它改写成y＝（x）。

例如，函数y=3x的反函数是，函数y=7x－6的反函数是，函数y=3x＋6的反函数是等。

反函数定义的理解

今后凡不特别说明，函数的反函数都是经过这种改写过的函数形式。

函数的反函数本身也是一个函数，函数的原函数与反函数互称为反函数。

反函数的定义域与值域应该正好是原函数的值域与定义域，否则不能算是原函数的反函数。例如，它不是函数y=2x(x∈R)的反函数，因为前者的值域显然不是后者的定义域，所以求原函数的反函数时，必须已知或先确定原函数的值域。

从映射的定义可知，函数y=f (x)是定义域集合A到值域集合C的映射，而它的反函数y=f－1(x)是值域集合C到定义域集合A的映射。

二、 求反函数的步骤

可以根据反函数的定义求已知函数的反函数，起步骤为：

第一步：由y=f (x)，解出x=f－1(y)；

第二步：交换x、y，得y=f－1(x)；

第三步：根据y=f (x)的值域，写出y=f－1(x)的定义域。

求反函数过程中须注意的几个问题：

（1）一般地，把求出的原函数的值域作为反函数的定义域是保险的，而根据已求出的反函数的解析式确定定义域，有时是不可靠的；

（2）在y=f (x)中的x、y与在x=f－1(y)中的x、y所表示的量相同，但是地位不同。在y=f (x)中的是x自变量，y是函数值；在x=f－1(y)中的是y自变量，x是函数值；

（3）在y=f (x)与在y=f－1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，这比较符合习惯，并给研究函数带来某些方便，但x、y所表示的量（指实际意义）被互换了。在y=f (x)中的x、y所表示的量，分别是y=f－1(x)中的y、x所表示的量。

把反函数x=f－1(y)改写成y=f－1(x)还有一个好处，即他们的图象关于直线y=x对称。

（4）求解步骤可简记为“解方程——互换x、y——写反函数”。

三、 反函数存在的条件

反函数存在的条件

并不是所有的函数都存在反函数，设函数y=f(x)是定义在M上的函数，若对其任意x1，x2∈M，当x1≠x2时，都有f(x1)≠f(x2)，并且对于每一个函数值y0=f(x0)，都有x0∈M，则y=f (x)存在反函数y=f－1(x)。即从定义域到值域构成一一映射关系。

例如，f(x)=2x (x∈R)，当x1≠x2时，2x1≠2x2，∴f(x)=2x存在反函数。

而f (x)=x2，当x1≠x2时，x12=x22可能成立。故f (x)=x2(x∈R)没有反函数。

但如将定义域x∈R改为x∈(0，＋∞)，则当x1≠x2时，必有x12≠x22，故f(x)=x2(x>0)的反函数是，

反函数与原函数的关系

原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

y=f(x)与y=f－1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为C，则有f[f－1(x)]=x (x∈C)，f－1[f(x)]=x(x∈A)。

两个条件等式的区别。

若原函数为奇函数，则反函数也一定是奇函数。但注意：奇函数未必都存在反函数。偶函数一般不存在反函数。

例如函数是奇函数，但却不存在反函数。

四、 互为反函数的图象间的关系

举例讨论

求函数y=3x－2(x∈R)的反函数，并且画出原函数和它的反函数的图象。

从y=3x－2，解得。因此，函数y=3x－2(x∈R)的反函数是。

函数y=3x－2(x∈R)和它的反函数的图象如图所示。

从图中可以看出，函数y=3x－2(x∈R)和它的反函数的图象关于直线y=x对称。

一般地，函数y=f (x)的图象和它的反函数y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称。

（1）函数y=f (x)与y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称，这个结论是在坐标系中横坐标轴为x轴，纵坐标为y轴，而且横坐标轴与纵坐标轴的单位长度一致的前提下得出的。

（2）函数y=f (x)与y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称，而不是函数y=f (x)与x=f－1(y)的图象关于直线y=x对称。

（3）函数y=f (x)和函数x=f－1(y)的图象是同一图象。

Answer 2

y=log3(x+5)
3的y次方=x+5
x=3的y次方-5
x y互换
即求得反函数
y=3的x次方-5
定义域是原函数的值域

Answer 3

y=log3(x+5) 定义域是x>-5
3^y=x+5
x=3^y-5
互换x,y
y=3^x-5
所以反函数是y=3^x-5

Answer 4

求反函数一定要熟记步骤，然后根据步骤一步步解决反函数的问题！

求反函数的步骤为：
第一步：由y=f (x)，解出x=f－(y)。例如：求y=x+1(x≥1)的反函数。由y=x+1解出x=y-1
第二步：交换x、y得y=f－(x)。接上例：由x=y-1交换x、y得y=x-1
第三步：根据y=f (x)的值域，写出y=f－(x)的定义域，原函数的值域是反函数的定义域。接上例：函数y=x+1(x≥1)的值域为y≥2(x=1时，y=2)，所以反函数y=x-1的定义域为x≥2。
所以y=x+1(x≥1)的反函数为y=x-1（x≥2）

返回到我们的题目：
y=log3(x+5)
第一步：由y=log3(x+5) 解出：3^y=x+5 ，所以x=3^y-5
第二步：交换x、y得 ：y=3^x-5
第三步：y=log3(x+5) 的值域为R（R是全体实数），所y=3^x-5的定义域为R
即求得反函数y=3^x-5

这是解反函数的一般步骤，一定要熟记！如果对反函数不熟悉，先掌握这个基本的步骤，再深入反函数其它内容。
反函数只是高中的一个很小很小的内容，最近几年高考题在反函数方面的问题都不会太深，只要掌握求解反函数的步骤，很多问题就可以解决了！至于反函数其它方面的内容，不用过多的担心。

参考资料：http://www.tjjy.com.cn/swin2000/gzdata/maths/Senior_Maths_V1/unit_02/lesson_04/HTML/gm1202042.htm