高一数学：讨论一下函数y=a^x(0<a<1),y=x^n(n<0),y=logax(0<a<1)在区间(0,+∞)上的衰减情况如何？

Question

高一数学必修一（人教版）第101页的探究，具体如图。注意：是讨论这三个函数的衰减程度，而不是讨论单调区间或者单调性。

Answer 1

衰减速度跟增长速度一样的顺序。
因为增长速度和衰减速度表示的是在某一区间的变化率。
所以可仿照增长速度写。追问

这三个函数与函数y=a^x(a＞1),y=x^n(n＞0),y=logax(a＞1)不同，后者在区间(0,+∞)上是增函数，前者在此区间是减函数。感觉你说的“衰减速度跟增长速度顺序一样”似乎不太对劲，直觉是增长快的衰减也快，增长慢的衰减也慢，也就是说，在区间(0,+∞)上总会存在一个x0，当x＞x0时，有a^x＜x^n＜logax.期待哪位能给出推演过程。

Answer 2

当x是一个很大的数的时候，
y=a^x, a^(x+1)/a^x = a，也就是x每增加1，y衰减a倍
y=x^n, (x+1)^n/x^n = (1+1/x)^n, 由于x很大，1/x很小，这个比例很接近1
y=logax, loga(x+1)/logax = ln(x+1)/lnx 也接近于1，
所以y=a^x肯定衰减最慢
（1+1/x)^n > (1+1/x)
而根据y=x和y=lnx的曲线图像，ln(1+x)/lnx ， y=x肯定比y=lnx增长速度快
因此ln(1+x)/lnx < (1+x)/x = 1 +1/x
所以y=logax 的衰减肯定比y=x^n慢
所以速度是a^x < logax < x^n本回答被网友采纳