中值定理构造辅助函数的方法

Question

如题所述

Answer 1

中值定理构造辅助函数的方法主要有以下几种：
1、观察联想法：观察所要证明等式的形式，看其是否与我们常见的函数导数公式相似或相同，如果相似或相同，那么我们可以立即联想到导数公式左端括号内的函数就是我们所要构造的辅助函数；如果不相似，我们考虑加个因子，使其变得相似。加的因子多为指数函数和幂函数。
2、原函数法：当出现与等有关的等式时，我们把结论中的换成后，经过适当恒等变形（通分、十字交叉相乘、移项等）使等式右端为0，通常等式左端即为所要构造的函数导函数。在很多情况下，我们对等式左端进行积分就可以得到辅助函数，我们再验证辅助函数是否满足微分中值定理的条件，这就是原函数法，也称积分构造法。
3、K值法：当我们要证明含有或且含有端点的等式时，常可以把含有的式子设为，通过恒等变形（通分、交叉相乘、移项等）使得等式的右端为零，把等式中右端点换成，等式左端即为所要构造的辅助函数。
4、分析逆推法：利用微分中值定理时，常常会用到逆推的方法。从欲证结论入手，借助于逻辑关系制造出某个函数的改变量，再观察其对应的区间，即可有效的构造出所需的辅助函数。此外，还有让F（x）曲线的弦下移，跟x轴重合等方法，也可以构造出满足条件的辅助函数。在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法来构造辅助函数。