在高等数学利用微分中值定理解决问题时,如何准确的构造出辅助函数?

Question

如题所述

Answer 1

在高等数学利用微分中值定理解决问题时，准确的构造出辅助函数：如果f再［a，b］-〉R上连续，且在（a，b）上可导，如果f（a）=f（b），那么在（a，b）中一定存在一个点c，f'（c）=0（'是求导的意思）。

证明

构造一个函数h（x）=f（x）-{［f（b）-f（a）］/［b-a］}*x

用AlgbricContinousThm可知，h再［a，b］-〉R上连续，且在（a，b）上可导，带入a，b到h可得h（a）=h（b）

再（a，b）中有个点c满足h'（c）=0

所以，对h求导得h'（x）=f'（x）-{［f（b）-f（a）］/［b-a］}

因为h'（c）=0

所以 f'（c）-{［f（b）-f（a）］/［b-a］}=0

=>f'（c）={［f（b）-f（a）］/［b-a］}

内容：

如果函数f（x）满足：

在闭区间［a，b］上连续。

在开区间（a，b）内可导。

那么：在（a，b）内至少有一点ξ（a<ξ<b）。

使等式f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立（或存在0<h<1，使f（b）-f（a）=f′［a+h（b-a）］（b-a）成立）。