数学必修5问题

Question

在△ABC中,a,b,c是△ABC中角A,B,C的对边,已知a=csinB,sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB),是判断△ABC的形状
怎样想?过程

Answer 1

答：
由
sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB).
cosA+cosB=(sinA+sinB)/sinC.
由余弦定理和正弦定理，
(b^2+c^2-a^2)/(2bc)+(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(a+b)/c.
a(b^2+c^2-a^2)+b(a^2+c^2-b^2)=2ab(a+b).
ac^2-a^3+bc^2-b^3=ab(a+b).
(ac^2+bc^2)-(a^3+b^3)=ab(a+b).
c^2(a+b)-(a+b)(a^2-ab+b^2)=ab(a+b).
c^2-(a^2-ab+b^2)=ab.
c^2=a^2+b^2.
三角形ABC是直角三角形，c为斜边。
所以
sinB=b/c=a/c.
a=b.
所以三角形ABC是以c为斜边的等腰直角三角形。

Answer 2

直角三角形，A:B:C=3：4：5

Answer 3

sin^2
A=sin^2B+sinBsinC+sin^2C

移项得
sin^2B+sin^2C-sin^2A=-sinBsinC

由正弦定理可知，sin^2B+sin^2C-sin^2A=-sinBsinC→b^2+c^2-a^2=-2bc

再用余弦定理
cosA=b^2+c^2-a^2/2bc
=-2bc/bc=-1/2

又因为是在△ABC中，所以A∈（0，π），所以A=120°