求z对y的偏导数: z=(1+xy)^y 谢谢了

Question

如题所述

Answer 1

原式：z = (1+xy)^y

∂z/∂x = y²(1+xy)^(y-1)

lnz = yln(1+xy)

∂z/∂y /z = ln(1+xy) + xy/(1+xy)

∂z/∂y = [ln(1+xy) + xy/(1+xy)] (1+xy)^y

扩展资料：

在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。

偏导数的表示符号为:∂。偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

y方向的偏导

同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。

参考资料：百度百科-偏导数

Answer 2

z=(1+xy)^y=e^[y×ln(1+xy)]
故z对y的偏导数
?z/?y=e^[y×ln(1+xy)]×?[y×ln(1+xy)]/?y
=?[y×ln(1+xy)]/?y×(1+xy)^y
=[(1+xy)^y]×ln(1+xy)+y×(1+xy)^y×?[ln(1+xy)]/?y
而?[ln(1+xy)]/?y=x/(1+xy)
故?z/?y=[(1+xy)^y]×ln(1+xy)+y×[(1+xy)^y]×x/(1+xy)
=[(1+xy)^y]×ln(1+xy)+xy×(1+xy)^(y-1)
乘号和x有点像的啊，注意区别

Answer 3

直接微分：
dz=d[(1+xy)^y]=y(1+xy)^(y-1)d(xy)+(1+xy)^yln(1+xy)dy
=y(1+xy)^(y-1)(xdy+ydx)+(1+xy)^yln(1+xy)dy
=y^2(1+xy)^(y-1)dx+[xy(1+xy)^(y-1)+(1+xy)^yln(1+xy)]dy
注意dz=z_xdx+z_ydy,
最后一式中方括号中就是所要求：
z_y=xy(1+xy)^(y-1)+(1+xy)^yln(1+xy)。
或者利用2元函数求偏导数结合复合函数求导数计算：
记z=(1+u)^v,
u=xy,
v=y,
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