如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是边长为2的正三角形，且DE=2AB=2，F是CD的中点．

Question

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是边长为2的正三角形，且DE=2AB=2，F是CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求面ABC与面EDC所成的二面角的大小（只求其中锐角）；（3）求BE与平面AFE所成角的大小．

Answer 1

（1）证明：取CE的中点为M，则FM∥

1

2

DE，并且FM=

1

2

DE，
由题意可得：AB∥

1

2

DE，并且AB=

1

2

DE，
所以AB∥FM，并且AB=FM，
所以ABMF为平行四边形，
所以AF∥BM，
又因为AF?平面BCE，BM?平面BCE，
所以AF∥平面BCE．
（2）过点C作直线l∥AB，则l∥DE，

所以平面ABC∩平面CDE=l，
因为AB⊥平面ACD，
所以l⊥平面ACD，
所以AC⊥l，CD⊥l，
所以∠ACD即为所求二面角的平面角．
又因为，△ACD是边长为2的正三角形，
所以∠ACD=60°，即面ABC与面EDC所成的二面角的大小为60°．
（3）设B在平面AFE内的射影为B′，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G，
所以BE与平面AFE所成角即为∠BEB′，
因为AF⊥CD，AF⊥DE，
所以AF⊥平面CDE，所以AF⊥MN，
又因为MN⊥FE，AF∩EF=F，并且AF?平面AEF，EF?平面AEF，
所以MN⊥平面AEF．
因为BM∥平面AEF，
所以BB′=MN，
由△CGF∽△EDF可得：CG=

2

5

，所以MN=

1

2

CG=

1

5

，
因为BE=

5

，
所以sin∠BEB′=

BB′

BE

=

1

5

，
所以∠BEB′=arcsin

1

5

．