全体整数所组成的集合中有两种运算：加法和乘法，而且它们满足下面运算法则：
1） 加法满足
结合律；
2） 加法满足加换律；
3） 有一个数0，是对任意整数 ， ；
4） 对任意整数 ，存在整数 ，使 ；
5） 乘法满足结合律；
6） 有一个数1，是对任意整数 ，
7） 加法与乘法满足分配律： ；
8） 乘法满足加换律；
9） 无零因子：如果 ，则 。
我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环，并用 代表它。
“
整除”、“
互素”、“倍数”、“因数”、“
最大公因数”、“
最小公倍数”等概念在小学和中学已介绍，在这里就不再赘述。
现在，我们从抽象的角度对“环”这一代数对象作一概述。
设 是一个非空集合。如果在 的元素之间定义了一种运算，称做加法，即对 中任意两元素 ，都按某法则 对应于 内的一个唯一确定的元素，记作 ，且满足如下运算法则：
（i） 结合律： ；
（ii） 中有一元素0，是对一切 ；
（iii） 对 中任一元素 ，有 ；
（iv） 交换律： 。
又设 内另有一种运算称作乘法，即对 中任意两个元素 ，都按某个法则 对应于 内一个唯一确定的元素，记作 ，且满足如下运算法则：
（v） 结合律： ；
（vi） 加法与乘法有两方面的分配律：
则 成为一个环。
如果一个环 的乘法也满足交换律，则 称为交换环；
如果环 内存在一个元素 ，使 ，则 称为 的单位元素， 称为有幺元的环；
如果环 内存在两个非零元 ，使 ，则 （ ）称为左（右）零因子，这时 称为有零因子环；
如果环 至少包含两个元素，可交换，有幺元，无零因子，则称 为一个整环；
如果 是一个整环，且对 内任一非零元素都有
逆元，则 称为一个域。