全体整数所组成的集合中有两种运算:加法和乘法,而且它们满足下面运算法则:
1) 加法满足
结合律;
2) 加法满足加换律;
3) 有一个数0,是对任意整数 , ;
4) 对任意整数 ,存在整数 ,使 ;
5) 乘法满足结合律;
6) 有一个数1,是对任意整数 ,
7) 加法与乘法满足分配律: ;
8) 乘法满足加换律;
9) 无零因子:如果 ,则 。
我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环,并用 代表它。
“
整除”、“
互素”、“倍数”、“因数”、“
最大公因数”、“
最小公倍数”等概念在小学和中学已介绍,在这里就不再赘述。
现在,我们从抽象的角度对“环”这一代数对象作一概述。
设 是一个非空集合。如果在 的元素之间定义了一种运算,称做加法,即对 中任意两元素 ,都按某法则 对应于 内的一个唯一确定的元素,记作 ,且满足如下运算法则:
(i) 结合律: ;
(ii) 中有一元素0,是对一切 ;
(iii) 对 中任一元素 ,有 ;
(iv) 交换律: 。
又设 内另有一种运算称作乘法,即对 中任意两个元素 ,都按某个法则 对应于 内一个唯一确定的元素,记作 ,且满足如下运算法则:
(v) 结合律: ;
(vi) 加法与乘法有两方面的分配律:
则 成为一个环。
如果一个环 的乘法也满足交换律,则 称为交换环;
如果环 内存在一个元素 ,使 ,则 称为 的单位元素, 称为有幺元的环;
如果环 内存在两个非零元 ,使 ,则 ( )称为左(右)零因子,这时 称为有零因子环;
如果环 至少包含两个元素,可交换,有幺元,无零因子,则称 为一个整环;
如果 是一个整环,且对 内任一非零元素都有
逆元,则 称为一个域。