整数环 1

Question

大大...我寒假看了好久西罗定理。。。结果。。。我们不学。回去学环和理想了。。。上面的16.1和下面两道题~谢谢您了~

Answer 1

追问

大大您看看是不是这样的思路，因为域的定义是一个可交换的整环，所以我们证明R的中心是群就好了，其他性质都可以由R满足除了封闭，那么最后一步是不是可以省略了呢？

还有一点我担心的是对于加法的单位元是继承了的，因为是群，但是对于乘法的单位元可能会变，我们又需要证明1不等于0，请问这个该怎么处理呢？

大大，能不能解释一下C的子环的单位元是怎么找出来的呢？
D…是不是用反证法写出abcd矩阵然后总能构造出efgh矩阵不可交换呢？
E同构能给出群到群的性质，可是大大能不能解释一下如何满足乘法的结合律，分配律和封闭呢？

追答

抽象代数我学的比较烂，群还好，环已经忘得差不多了，域除了定义基本就不会了，所以这里我就是按照基本的定义来证明的。
假设1=0，对于任意a，a=1*a=0*a=0，矛盾。
C的单位元我是试出来
D，这样可以解出来，但是很麻烦。先找出分别与矩阵(0,1;0,0)和(0,0;1,0)可交换的矩阵满足的条件，这样就得到必须是对角矩阵，在找出和一般矩阵可交换的对角矩阵满足的条件就可以了。
E，这个映射f满足，f(A)±f(B)=f(A±B),f(AB)=f(A)*f(B),f(A逆)=1/f(A)，也就是f保持S的四则运算不变，所以S所满足的条件就是复数域C满足的条件。

追问

明白了，谢谢您了，D原来还能这样简化，我把E的定理搞错了。环的同构有些不同，明白啦～

来自：求助得到的回答