帮忙解题 若n是正整数,3n+1是完全平方数,试证明n+1是3个完全平方数的和

Question

若n是正整数,3n+1是完全平方数,试证明n+1是3个完全平方数的和
帮个忙吧，谢谢

Answer 1

【不好意思，看到题目时太晚了】

解：因为3n+1是完全平方数
所以 设3n+1=m²（m为整数）
所以 3n=m²-1=(m+1)(m-1)
所以 n=(m+1)(m-1)/3
因为 n是正整数
所以 3整除(m-1)，或3整除(m+1)

所以 m-1=3k或m+1=3k（k为整数）
所以 m=3k±1

把m=3k±1代入3n+1=m²，
得 3n+1=(3k±1)²
3n+1=9k²±6k+1
3n=9k²±6k
n=3k²±2k

所以 n+1
=3k²±2k+1
=k²+k²+(k²±2k+1)
=k²+k²+(k±1)²
即 n+1能表示成 3个完全平方数的和，原命题得证

【希望对你有帮助】
【恳请楼主不要直接关闭问题呀，因为似乎您有这个不良“癖好”，O(∩_∩)O谢谢啦！】

Answer 2

【不好意思，看到题目时太晚了】

解：因为3n+1是完全平方数
所以 设3n+1=m²（m为整数）
所以 3n=m²-1=(m+1)(m-1)
所以 n=(m+1)(m-1)/3
因为 n是正整数
所以 3整除(m-1)，或3整除(m+1)

所以 m-1=3k或m+1=3k（k为整数）
所以 m=3k±1

把m=3k±1代入3n+1=m²，
得 3n+1=(3k±1)²
3n+1=9k²±6k+1
3n=9k²±6k
n=3k²±2k

所以 n+1
=3k²±2k+1
=k²+k²+(k²±2k+1)
=k²+k²+(k±1)²
即 n+1能表示成 3个完全平方数的和，原命题得证