求解高数函数

Question

如题所述

Answer 1

利用x=e^lnx,然后利用洛必达法则进行求极限，就可以很快得出结果为e^(-1/6).

Answer 2

底数和指数都是x的函数，这样的函数叫幂指函数，它的极限有三种求法。第一种方法：令它等于y，两边取对数，两边求极限，然后再还原求幂指函数的极限。第二种方法：利用重要极限求解。第三种，利用对数公式转换求极限。追答

上面是第三种方法，

前两种方法作为练习，

Answer 3

先设 y = (sinx/x)^(1/x²)。那么：
lny = [ln(sinx/x)]/x²
因为 lim(sinx/x) = 1，很显然，lim(lny) 就是一个 0/0 型的极限。那么使用罗必塔法则：
= lim [ln(sinx/x)]'/(x²)'
= lim [(x/sinx) * (sinx/x)']/(2x)
= lim [(x/sinx) * (x*cosx - sinx)/x²]/(2x)
= lim (x*cosx - sinx)/(2x²)
这还是一个 0/0 型的极限，继续使用罗必塔法则：
= lim (cosx - x*sinx - cosx)/(4x)
= lim (-sinx/4)
= 0
既然 lim(lny) = 0，那么：
lim(y) = e^(lny) = 1
也就是说，这个极限 = 1

Answer 4

这是重要极限1，答案直接就是1喔，要记住的

Answer 5

x->0
根据泰勒公式
sinx = x-(1/6)x^3 +o(x^3)
sinx/x = 1-(1/6)x^2 +o(x^2)
原式
=lim(x->0) ( sinx/x)^(1/x^2)
代入上述
=lim(x->0) (1-(1/6)x^2)^(1/x^2)
重要极限
=e^(-1/6)
得出结果
lim(x->0) ( sinx/x)^(1/x^2)=e^(-1/6)