高数题，求解微分方程的特解？有详细步骤，感谢

Question

如题所述

Answer 1

Answer 2

y(1) =0
e^y.(1+x^2) dy -2x(1+e^y)dx =0

e^y.(1+x^2) dy = 2x(1+e^y)dx
∫e^y/(1+e^y) dy = ∫2x/(1+x^2) dx
ln|1+e^y| = ln|1+x^2| +C
y(1)=0
ln2=ln2 +C
C=0
ln|1+e^y| = ln|1+x^2|
1+e^y = 1+x^2
e^y = x^2
y = ln(x^2)

Answer 3

y(1) =0
e^y.(1+x^2) dy -2x(1+e^y)dx =0

e^y.(1+x^2) dy = 2x(1+e^y)dx
∫e^y/(1+e^y) dy = ∫2x/(1+x^2) dx
ln|1+e^y| = ln|1+x^2| +C
y(1)=0
ln2=ln2 +C
C=0
ln|1+e^y| = ln|1+x^2|
1+e^y = 1+x^2
e^y = x^2
y = ln(x^2)

Answer 4

解:微分方程为e^y(1+x²)dy-2x(1+e^y)dx=0， 化为e^ydy/(1+e^y)=2xdx/(1+x²)， 两边积分有ln|1+e^y|=ln(1+x²)+lnc (c为任意正实数)，方程的通解为1+e^y=c+cx²
∵y|(x=1)=0 ∴有c=1 ∴微分方程的特解为
e^y=x²

Answer 5

求微分方程 (e^y)(1+x²)dy-2x(1+e^y)dx=0满足y(1)=0的特解。
解：分离变量得：[(e^y)/(1+e^y)]dy=[2x/(1+x)]dx
取积分：∫[(e^y)/(1+e^y)]dy=[2x/(1+x²)]dx
即 ∫[d(1+e^y)/(1+e^y)]=[d(1+x²)/(1+x²)]dx
积分之得 ln(1+e^y)=ln(1+x²)+lnC
故得通解 1+e^y=C(1+x²)
将初始条件代入得：1+e°=C(1+1），即有C=1;
故满足初始条件的特解为：e^y=x²，或写成：y=2ln∣x∣；