如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=2，∠BAD=90°，∠BCD=45°，E为对角线BD的中点．现将△ABD沿BD

Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=2，∠BAD=90°，∠BCD=45°，E为对角线BD的中点．现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD，如图2．（Ⅰ）求证直线PE⊥平面BCD；（Ⅱ）求异面直线BD和PC所成角的余弦值；（Ⅲ）已知空间存在一点Q到点P，B，C，D的距离相等，写出这个距离的值（不用说明理由）．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵E为BD的中点，PB=PD，
∴PE⊥BD，
∵平面PBD⊥平面BCD，且平面PBD∩平面BCD=BD，
PE?平面PBD，
∴直线PE⊥平面BCD．
（Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系，
依题意得E（0，0，0），B（1，0，0），C（-1，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），
∴

BD

=（-2，0，0），

PC

=（-1，2，-1），
∴cos＜

BD

，

PC

＞=

2

2 6

=

6

6

，
∴异面直线BD和PC所成角的余弦值为

6

6

（Ⅲ）空间存在一点Q到点P，B，C，D的距离相等，这个距离的值为

2

．