如图,已知△ABC外作正方形ABCD和ACGF,M是BC的中点求证:AM=1/2EF

Question

如题所述

Answer 1

将am延长至n点，且使mn=am，连接bn
（1）证明af=bn
因为：am=mn、bm=mc、对顶角amc=nmb，
所以：由边角边定理，可得出△bmn≡△cma
所以：ac=bn
又四边形acgf为正方形
所以：af=bn
（2）证明ef=an
因为：角eaf+角bac=180°【注：360°-角bae-角caf】
角bac+角abn=180°【注：同旁内角互补】
所以：角eaf=角abn
又：ae=ab、
af=bn
所以：△aef≡△ban
所以：ef=an
所以am=1/2ef
证毕。

Answer 2

延长AM至H，使MH=AM，连接HC
因为
MH=AM，BM=MC，角BMA=角CMH
所以
三角形BMA全等于三角形CMH
所以
HC=BA，角ABC=角BCH
所以
HC//BA
因为
正方形ABCD和ACGF中
角EAB=角FAC=90度
所以
角EAF+角BAC=360-90-90=180度
因为
三角形ABC中
角ABC+角BCA+角BAC=180度
所以
角EAF=角ABC+角BCA
因为
角ABC=角BCH
所以
角EAF=角BCH+角BCA=角HCA
因为
正方形ABCD和ACGF中
EA=BA，AF=AC
因为
HC=BA
所以
EA=HC，AF=AC
因为
角EAF=角HCA
所以
三角形EAF全等于三角形HCA
所以
EF=AH
因为
MH=AM=1/2AH
所以
AM=1/2EF

Answer 3

题目应该是“求证:AM=1/2
DF吧”
延长MA交DF于点H，延长AM于点N，使MN=AM，连结CN
∵M为BC中点
∴BM=CM
在△ABM和△NMC中
BM=CM
∠AMB=∠NMC
AM=NM
∴△ABM≌△CMN
∴∠BAM=∠MNC，AB=CN
∵∠CAM+∠CNM+∠ACN=180°
∴∠CAM+∠BAM+∠ACN=∠BAC+ACN=180°
∵∠BAD+∠CAF=180°
∴∠DAF+∠BAC=360°-（∠BAD+∠CAF）=180°
∴ACN=∠DAF
∵正方形ABCD中，AD=AB
且AB=CN（已证）
∴AD=CN
在△ACN和△FAD中
CN=AD
∠ACN=∠FAD
AC=FA
∴△ACN≌△FAD
∴AN=DF
又∵AM=1/2
AN
∴AM=1/2
DF