已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=9

Question

已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）当D在AC上时，
∵DE=DF，
∴EC=CF=

1

2

EF=5，
∴t=5．

（2）存在．
∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
AQ=8-t，当0≤t＜5时，
①AP=AQ，
t=8-t，
∴t=4；
②AP=PQ，
作PH⊥AC于H，
AH=HQ=

1

2

AQ=4-

1

2

t，
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴

AP

AH

=

AB

AC

，
∴

t

4? 1 2 t

=

10

8

，
∴t=

40

13

；
③AQ=PQ，
作QI⊥AB于I，
AI=PI=

1

2

AP=

1

2

t（等腰三角形的性质三线合一），
∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AIQ∽△ACB，
∴

AI

AQ

=

AC

AB

，
∴

1 2 t

8?t

=

8

10

，
∴t=

64

13

，
④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，
同理可求出，
FC=QC=10-t，BP=10-t，
PH=

4

5

（10-t）=8-

4

5

t，
BH=

3

5

（10-t）=6-

3

5

t，
QG=QC-GC=QC-PH=10-t-（8-

4

5

t）=2-

t

5

，
PG=HC=6-（6-

3

5

t）=

3

5

t，
PQ=AQ=8-（10-t）=t-2，
∴PQ ²=PG ²+QG ²，
（t-2）²=（

3

5

t） ²+（2-

t

5

） ²，
解得：t=

16

3

秒，
其它情况不符合要求，
综合上述：当t等于4秒、

40

13

秒、

64

13

秒、

16

3

秒时△APQ是等腰三角形．

（3）由勾股定理：CE=CQ=t，
∵sinA=

BC

AB

=

6

10

=

PW

AP

，cosA=

AC

AB

=

8

10

=

AW

AP

，
∴PW=

3

5

t，AW=

4

5

t，
∴QW=8-

4

5

t-t=8-

9

5

t，
∴PQ²=PM²+QW²=（

3

5

t）²+（8-

9

5

t）²=

18

5

t²-

144

5

t+64，
PE²=PH²+EH²=（t+8-

9

5

t）²+（t-

3

5

t）²=

4

5

t²-

64

5

t+64，
①∠PQE=90°，
在Rt△PEQ中
PQ²+QE²=PE²，
∴t1=0（舍去） t₂=

10

3

；
②∠PEQ=90°，
PE²+EQ²=PQ²
t₁=0（舍去） t₂=20（舍去）
∴此时不存在；
③当∠EPQ=90°时
PQ²+PE²=EQ²，
t₁=

40

3

（舍去） t₂=4，
综合上述：当t=

10

3

或t=4时，△PQE是直角三角形．