解：f(x)＝|x+1|+|x-1|，图像如图所示。
(1)存在x0∈R，使得f(x0)≤m成立，
即m≥f(x)min即可，f(x)min＝2，得m≥2。
(2)任意m∈[1，2]，都有m²+2m-f(t)≤0成立
则m∈[1，2]，f(t)≥(m²+2m)max恒成立
m²+2m＝(m+1)²-1,m＝2时,(m²+2m)max＝8
f(t)≥8，即|t+1|+|t-1|≥8，解得t≥4或t≤-4。
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解：f(x)＝|x+1|+|x-1|，图像如图所示。
(1)存在x0∈R，使得f(x0)≤m成立，
即m≥f(x)min即可，f(x)min＝2，得m≥2。
(2)任意m∈[1，2]，都有m²+2m-f(t)≤0成立
则m∈[1，2]，f(t)≥(m²+2m)max恒成立
m²+2m＝(m+1)²-1,m＝2时,(m²+2m)max＝8
f(t)≥8，即|t+1|+|t-1|≥8，解得t≥4或t≤-4。