如图，已知⊙Ｏ的弦ＡＢ等于半径，连结ＯＢ并延长使ＢＣ＝ＯＢ． （１）∠ＡＢＣ＝ °；（２

Question

如图，已知⊙Ｏ的弦ＡＢ等于半径，连结ＯＢ并延长使ＢＣ＝ＯＢ． （１）∠ＡＢＣ＝ 　　　　　 °；（２）ＡＣ与⊙Ｏ有什么关系？请证明你的结论；（３）在⊙Ｏ上，是否存在点Ｄ，使得ＡＤ＝ＡＣ？若存在，请画出图形，并给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（１）１２０°（２）ＡＣ是⊙Ｏ的切线，证明见解析（３）存在，证明见解析

解：（１）１２０°；……………………………………………………………１分 （２）ＡＣ是⊙Ｏ的切线．……………………………………………………３分 证法一 ∵ＡＢ＝ＯＢ＝ＯＡ，∴△ＯＡＢ为等边三角形，…………………………４分 ∴∠ＯＢＡ＝∠ＡＯＢ＝６０°．……………………………………………５分 ∵ＢＣ＝ＢＯ，∴ＢＣ＝ＢＡ， ∴∠Ｃ＝∠ＣＡＢ，……………………………………………………………６分 又∵∠ＯＢＡ＝∠Ｃ＋∠ＣＡＢ＝２∠Ｃ， 即２∠Ｃ＝６０°，∴∠Ｃ＝３０°，………………………………………７分 在△ＯＡＣ中，∵∠Ｏ＋∠Ｃ＝６０°＋３０°＝９０°， ∴∠ＯＡＣ＝９０°，…………………………………………………………８分 ∴ＡＣ是⊙Ｏ的切线； 证法二： ∵ＢＣ＝ＯＢ，∴点Ｂ为边ＯＣ的中点，……………………………………４分 即ＡＢ为△ＯＡＣ的中位线，…………………………………………………５分 ∵ＡＢ＝ＯＢ＝ＢＣ，即ＡＢ是边ＯＣ的一半，……………………………６分 ∴△ＯＡＣ是以ＯＣ为斜边的直角三角形，…………………………………７分 ∴∠ＯＡＣ＝９０°，…………………………………………………………８分 ∴ＡＣ是⊙Ｏ的切线； （３）存在．……………………………………………………………………９分 方法一： 如图２，延长ＢＯ交⊙Ｏ于点Ｄ，即为所求的点．…………………………１０分 证明如下： 连结ＡＤ，∵ＢＤ为直径，∴∠ＤＡＢ＝９０°．…………………………１１分 在△ＣＡＯ和△ＤＡＢ中， ∵ ，∴△ＣＡＯ≌△ＤＡＢ（ＡＳＡ），………………１２分 ∴ＡＣ＝ＡＤ．…………………………………………………………………１３分 （也可由ＯＣ＝ＢＤ，根据ＡＡＳ证明；或ＨＬ证得，或证△ＡＢＣ≌△ＡＯＤ） 方法二： 如图３，画∠ＡＯＤ＝１２０°，……………………………………………１０分 ＯＤ交⊙Ｏ于点Ｄ，即为所求的点．…………………………………………１１分 ∵∠ＯＢＡ＝６０°， ∴∠ＡＢＣ＝１８０°－６０°＝１２０°． 在△ＡＯＤ和△ＡＢＣ中， ∵ ，∴△ＡＯＤ≌△ＡＢＣ（ＳＡＳ），………………１２分 ∴ＡＤ＝ＡＣ．…………………………………………………………………１３分 （１）由已知可知△AOB为等边三角形，利用平角求出∠ＡＢＣ的度数 （２）利用直角三角形的性质求出∠ＯＡＣ＝９０°，从而得出结论 （３）延长ＢＯ交⊙Ｏ于点Ｄ，即为所求的点，利用全等三角形求证