如图 E是正方形ABCD的边BC的中点F是CD上一点 DF=3CF 求证 AE垂直于EF

Question

如图 E是正方形ABCD的边BC的中点F是CD上一点 DF=3CF 求证 AE垂直于EF

麻烦利用“勾股定理”和“勾股定理的逆定理“帮忙解决一下，万分感谢！！！
不要用根号几根号几解决，还没学到。。。谢谢！！！

Answer 1

证明：
令CF=a，则，AB=4a，BE=EC=2a,
∵AB/EC=BE/CF=2，又∠ABE=∠ECF=90°，
∴△ABE∽△ECF。
∴∠EAB=∠FEC。
又∵Rt△ABE中，∠EAB+∠AEB=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°
∠AEF=180°-(∠FEC+∠AEB)=180°-90°=90°。
∴△AEF为直角三角形。
证毕。

Answer 2

设CF的长度为1，则|DF|=3，|BE|=|EC|=2，|AB|=|AD|=4。
根据勾股定理，|AE| = √(|AB|^2+|BE|^2) = √(16+4) = √20
同理，
|EF| = √(2^2+1^2) = √5
|AF| = √(4^2+3^2) = √25
于是|AE|^2+|EF|^2=|AF|^2
由勾股定理逆定理，AE垂直于EF。追问

没学过根号啊。。看不懂。。

Answer 3

设AB=AD=BC=DC=4a,则BE=EC=2a,DF=3a,CF=a,有勾股定理：AE^2=AB^2+BE^2=20a^2，同理，EF=5a^2,AF=25a^2，所以AE^2+EF^2=AF^2，所以AE垂直于EF追问

20a的平方怎么得来的，看不懂。。。。。。

追答

（4a）^2+（2a）^2=20a^2