99问答网
所有问题
线性证明,1.设n阶方阵A满足A的平方=E,证明：R（A-E）+（A+E）=n
如题所述
举报该问题
其他回答
第1个回答 2022-11-19
证：
由A²=E=E²
得A²-E²=0
(A+E)(A-E)=0
所以R(A+E)+R(A-E)≤n ①
因为R(E-A)+R(A+E)≥R(E-A+A+E)=R(2E)=n
又R(A-E)=R(E-A)
所以R(E-A)+R(A+E)≥n ②
由①、②得 R（A-E ）+R（A）=n
相似回答
设A
为n×
n矩阵
.
证明:
如果A方
=E,
则秩
(A+E)+
秩
(A-E)=n
.
答：
证: 由A^2
=E,
得 (A+E)(A-E)=0 所以 r(A+E)+r(A-E) ≤ n 又 |A^2|=|A|*|A|=1, 即|A|≠0,r(A)=n 所以 n=r(2A)=r[(A+
E)+(A
-E)] ≤
r(A-E)+
r(A+E)所以 r(A)+r
(A+E)=n
知识点
:1
. AB=0 则 r(A)+r(B) ≤ n 2. r(A+B) ≤ r(A)+...
设A
为
n阶方阵,满足A
²
=E,
试证
:R(E
+
A)+
R(E-A
)=n
答：
，E
-A=P^（-1）（E-B）P，其中E-B=diag｛0，2Es｝根据相似矩阵秩相同，可得r（E+
A）+r（E
-A）=r+s=n
...若A≠
E,
且
R(A+E)+R(A-E)=n,
试证:-1必是
A的一
个特征值。
答：
A≠E ==>
R(A-E)
>=1 ==> R
(A+E)=n
-R(A-E)<=n-1 ==>|A+E|=0 即-1为特征值。
设n阶矩阵A满足A平方=A,E
为n阶单位矩阵
,证明
r(A
)+r(A-E)=n
.
答：
n阶矩阵A满足A平方=A
===>r(
A)
≤n 当r(A)=n时,===>A=E===>r(A-
E)
=0===>r(A)+r(A-E)=n 当r(A)A为至少有一行是全0的单位矩阵 ===>r(A)+r(A-E)=n.===>n阶矩阵A满足A平方=A,r(A)+r(A-E)=n
n阶矩阵A满足A
^2
=E
时怎样
证明R(E
-A) R(E A
)=n
?
答：
A^2=E 则 (E-A)(E+A)
=E
-A^2=0 则E+A的列向量，都是(E-A)X=0的解 而此方程解空间的秩是n-
R(E
-A)因此R（E+A） ≤n-R(E-A)则R(E-A
) +
R（E+A）≤n 【1】而R(E-A) + R（E+A）≥R(E-
A + E
+A) =R(2
E) = n
【2】由【1】【2】，可得
R（E
-A）...
设n方阵A满足A
^2=A
,E
为
n阶
单位矩阵
,证明
R(A
)+R(A-E)=n
答：
(A-E)e_s = 0,==>
R(A-E)
<= n - R(A);设M为由 e_(i+1), ..., e_n 生成的子空间,并定义投射:P: X --> M,P(e_s) = 0, 1 <= s <= i;P(e_s
) = e
_s, i < s <= n.对所有 i< s <
= n,
P(A-E)(e_s) = P
(Ae
_s - e_s) = -e_s. (PAe_s = 0...
A是
n阶方阵,R(E
-
A)+R(E+A)=n,
求证:A²
=E
?
答：
对于λ2
=1，
可求得方程(E-A)x=0有n-R(E-A)个线性无关的解，即有n-R(E-A)个线性无关的特征值向量；所以
，n阶矩阵A
有n-R(E+A)+n-R(E-A)个特征向量，由题
设R(E+A)+R(E
-
A)=n，
得 n-
R(E+A)+n
-R(E-A)=2n-[R(E+A)+R(E-A)]=n，即A有n个线性无关的特征向量...
设n阶矩阵A满足A
^2
=A
.E为n阶单位矩阵。求证
R(A)+R(A
'-
E)
<
=n
答：
由于A`-E的秩等于它转置A-E的秩，且我们有西尔维斯特不等式
：R(
AB)>=R(A)+R(B)-n 其中A，B都是
n阶方阵
令B=A-E 得 R（A）+R（A'-
E）=
R（A
）+R（A-E）
《n+R
（A(A
-E)
）=n+
R(0(n*n)
)=n
设A
为
n阶方阵,E
为n阶单位矩阵
,证明R(A+E)+R(A-E)
》
n,
详细点,非常...
答：
则：R(A)=r，同理，设b1,b2,..bs为B的极大线性无关向量组，则：R(B)=s 而A+B与A和B为同
阶方阵，
其极大线性无关组不可能大于r+s，即：R(A)+R(B) ≥R(A+B)根据上述，可以知道
：R(A+E)
+
R(A-E)
= R(A+E) + R(E-A) ≥ R[
(A+E)+(E
-A)] = R(2
E) = n
...
大家正在搜
n阶方阵a满足a2-3a-e=0
n阶方阵A满足A
设三阶方阵a的行列式|A|=4
如果n阶方阵a满足
n阶方阵的性质
设a为n阶方阵,且a^2=a
同阶方阵的性质
设A为n阶方阵
设a为三阶方阵且|A|=3