函数连续的归纳原则是什么？

Question

如题所述

Answer 1

归结原则即海涅定理，虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。

定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

定理二 连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。

定理三 连续函数的复合函数是连续的。

这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。

有界性：

闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。

证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。

反证法，假设f(x)在[a,b]上无上界，则对任意正数M，都存在一个x'∈[a,b]，使f(x')>M。

特别地，对于任意正整数n，都存在一个xn∈[a,b]，使f(xn)>n。