什么是秩小于n的n阶矩阵的行列式？

Question

如题所述

Answer 1

秩小于n的n阶矩阵的行列式一定为零。
当m不等于n时，mxn矩阵没有行列式。
任何方阵都可以通过初等行变换转化为上三角阵。
上三角阵的行列式为0当且仅当主对角线上的元素中有0。
n阶上三角阵的秩 = n - 主对角线上0的个数。
初等行变换 = 左乘(可逆)初等矩阵。于是初等行变换保秩，并且使得变换前后的矩阵的行列式同为0或同不为0。
这样，A的行列式为0当且仅当对应的上三角阵秩小于n，也即A的秩小于n。
对于一个n阶的n*n矩阵A来说，
如果其行列式|A|=0，
则说明矩阵的秩小于n，即非满秩矩阵
而如果|A|≠0，无论是大于还是小于0，
都说明矩阵的秩就等于n
实际上行列式|A|=0，
就说明矩阵A在经过若干次初等变换之后存在元素全部为0的行，
所以其秩R(A)<n< p="">
而行列式|A|≠0，即经过若干次初等变换之后不存在元素全部为0的行，
其秩R(A)=n