如图（1）在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD且AB=AD= CD=1，现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿A

Question

如图（1）在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD且AB=AD= CD=1，现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿AD将正方形翻拆，使平面ADEF与平面ABCD互相垂直如图（2）。 （1）求证平面BDE⊥平面BEC （2）求直线BD与平面BEF所成角的正弦值。

Answer 1

⑴证  ∵平面ADEF⊥平面ABCD         又∵ADEF是正方形   ∴ED⊥AD        ∴ED⊥平面ABCD        又∵平面EDB⊥平面ABCD         又∵ABCD是直角梯形AB∥CD,AB⊥AD   AB=AD= CD=1得DB=BC=    ∴BD 2 +BC 2 =DC 2 ∴∠DBC=90° ∴BC⊥BD∴BC⊥平面EBD         ∴平面EBD⊥平面 EBC                      ⑵解：∵ADEF是正方形     ∴AD∥EF  平面BEF, 平面BEF ∴AD∥平面BEF     ∴D到平面BEF的距离与A到平面BEF的距离相等 又∵AD⊥AF,AD⊥AB∴AD⊥平面BEF   ∵AD∥EF∴EF⊥平面ABF    ∴平面ABF⊥平面BEF过A作EB的垂线垂足为H，则AH⊥平面BEF ∴A到平面BEF的距离为AH    ∵AB=AF=1 ∴ 又∵    设BD与平面BEF所成角为 则