用定积分求由y=x^2+1,y=0,x=1,x=0所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积？

Question

如题所述

Answer 1

要求由 $y=x^2+1, y=0, x=1, x=0$ 所围平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积，可以使用壳方法进行计算。具体步骤如下：
1. 将要围成旋转体的平面图形沿 $y$ 轴投影，得到一个在 $xy$ 平面内的图形，如下图所示：
2. 以 $y$ 轴为轴线，将该图形沿 $y$ 轴分割成无穷多个宽为 $dy$ 的薄壳，如下图所示：
3. 对于每个薄壳，其高度为 $x=\sqrt{y-1}$，周长为 $2\pi x = 2\pi\sqrt{y-1}$，厚度为 $dy$，因此该薄壳的体积为：
$$
dV = 2\pi x \cdot dy = 2\pi\sqrt{y-1} \cdot dy
$$
4. 对所有薄壳的体积进行累加，即可得到旋转体的体积：
$$
V = \int_{0}^{2} 2\pi\sqrt{y-1} dy = 2\pi\int_{0}^{2} \sqrt{y-1} dy
$$
5. 对上式进行积分，得到：
$$
V = \frac{4\pi}{3}
$$
因此，所求旋转体的体积为 $\frac{4\pi}{3}$。