比热容比与自由度的关系式是如何得出的？

Question

如题所述

Answer 1

比热容是指单位质量物质温度升高1摄氏度时，所吸收或放出的热量，通常用符号$c$表示。比热容与自由度之间有一个重要的关系式，称为麦氏关系。
麦氏关系可以表示为：
$$c=\frac{f}{2}R$$
其中，$f$表示物质的自由度，$R$表示气体常数。这个关系式的推导基于热力学第一定律和理想气体状态方程。
根据热力学第一定律，系统吸收的热量等于系统内能的增加和所做的功之和，即：
$$Q=\Delta U+W$$
其中，$Q$表示吸收的热量，$\Delta U$表示内能的增加，$W$表示所做的功。
对于理想气体，内能只与温度有关，因此可以写成$\Delta U=nc_v\Delta T$，其中$n$表示物质的量，$c_v$表示定容比热容，$\Delta T$表示温度变化。对于定容过程，$W=0$，因此有：
$$Q=nc_v\Delta T$$
又根据理想气体状态方程$PV=nRT$，可以得到：
$$\frac{P}{T}=\frac{nR}{V}$$
将上式代入热量公式，得到：
$$Q=nC_v\Delta T=n\frac{R}{f-1}\Delta T$$
将上式中的$c_v$用$f$表示出来，得到：
$$c_v=\frac{R}{f-1}$$
又因为$c_p-c_v=R$，所以：
$$c_p=c_v+R=\frac{f}{f-1}R$$
因此，有：
$$\frac{c_p}{c_v}=\frac{f}{f-1}$$
这就是麦氏关系。可以看出，物质的自由度越多，比热容比$c_p/c_v$就越大。