{(-∞到∞)∫e^(-x²)dx}²
= {(-∞到∞)∫e^(-x²)dx}*{(-∞到∞)∫e^(-y²)dy}
= (θ,0到2π)(r,0到∞)∫∫re^(-r²)drdθ
= {(θ,0到2π)∫dθ}*(r,0到∞)∫2e^(-r²)dr²
= 2π
所以(-∞到∞)∫e^(-x²)dx = √(2π)
所以(-∞到∞)∫e^(-x²/2)dx =2 √(π)
这个就是泊松积分，并不是泊松积分的一半，其结果等于π^(1/2)/2，建议直接记结果，经常会用到此积分分布是绝对求不出来的，因为它没有初等原函数最好的方法就是利用二重积分构造结果为其平方的二重积分∫∫e^-(x^2+y^2) (d=r^2)，再用极坐标作变量代换得结果为π ，剩下就是显然的了。
扩展资料：
在数学方面：美国数学史家克兰（Kline）指出：“泊松是第一个沿着复平面上的路径实行积分的人。”在他1817年的出版物中对序列收敛的条件就有了正确的概念，现在一般把这个条件归功于柯西。泊松对发散级数作了深入的探讨，并奠定了“发散级数求积”的理论基础，引进了一种今天看来就是可和性的概念。
把任意函数表为三角级数和球函数时，他广泛地使用了发散级数，用发散级数解出过微分方程，并导出了用发散级数作计算怎样会导致错误的例子。他还把许多含有参数的积分化为含参数的幂级数。他关于定积分的一系列论文以及在傅里叶级方面取得的成果，为后来的狄利克雷和黎曼的研究铺平了道路。
泊松也是19世纪概率统计领域里的卓越人物。他改进了概率论的运用方法，特别是用于统计方面的方法，建立了描述随机现象的一种概率分布──泊松分布。他推广了“大数定律”，并导出了在概率论与数理方程中有重要应用的泊松积分。他是从法庭审判问题出发研究概率论的，1837年出版了他的专著《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》。
参考资料来源：百度百科-泊松
解题过程如下：
原式=∫e^(-x^2)dx
=∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy
=∫∫e^(-r^2) rdrdα
=(∫e^(-r^2) rdr)*(∫dα)
=π*∫e^(-r^2) dr^2
=π*(1-e^(-r^2) |r->+∝
=π
∵ ∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy
=(∫e^(-x^2)dx)*(∫e^(-y^2)dy)
=(∫e^(-x^2)dx)^2
∴∫e^(-x^2)dx=√π
扩展资料：
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。
如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对函数中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。
积分是线性的，如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。
如果黎曼可积的非负函数f在函数上的积分等于0，那么除了有限个点以外，f = 0。如果勒贝格可积的非负函数f在函数上的积分等于0，那么f几乎处处为0。如果函数中元素A的测度μ （A）等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0。
本回答被网友采纳但可把被积函数e^(-x²)展成麦克马林级数，然后逐项积分。