几道高中数学题

Question

题中a b c d均为向量
1已知|a|=2 |b|=1，a与b的夹角为π/3，求向量2a+3b与3a-b的夹角
2已知向量abc两两所称的角相等并且|a|=1|b|=2 |c|=3求向量a+b+c的长度
3求等腰直角三角形中量指教变上的中线所成的钝角的读书
4已知a+b=c a-b=d cd为非零向量求证|a|=|b|=c⊥d

Answer 1

解析：、
1、∵a.b=│a│*│b│cos<a,b>=2*1*cos60°=1
∵（2a+3b).（3a-b)=6a^2+7a.b-3b^2=6*4+7*1-3*1=28
│2a+3b│=√(2a+3b)^2=√(4a^2+12a.b+9b^2)=√(16+12+9)=√37
│3a-b│=√(3a-b)^2=√(9a^2-6ab+b^2)=√(36-6+1)=√31
设向量2a+3b与3a-b的夹角为θ
∴cosθ=（2a+3b).（3a-b)/│2a+3b││3a-b│=28/√37*√31=28√1147/1147
2\解∵向量abc两两所称的角相等∴,<a,b>=<a,c>=<b,c>=120°
∵a|=1|b|=2 |c|=3
∴a.b=1*2*cos120=-1,bc=2*3*cos120=-3,ac=1*3*cos120=-3/2
│ a+b+c│=√（a+b+c)^2=√(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)
=√(1+4+9-2-6-3）=√3，
3、解：设BD,CE是等腰直角三角形ABC直角边AC，AB上的中线，
令AB=AC=1,则BC=√2,,
CE=CB+BE=CB+BA/2,BD=BC+CD=BC+CA/2,
∴CE.BD=(CB+BA/2)(BC+CA/2)=-BC^2+CB*CA/2+BA*BC/2+AB*AC/4
=-2+1/2+1/2+0=-1,
│CE│=│BD│=√[AC^2+(AB/2)^2]=√(1+1/4)=√5/2,
cos<BD,CE>=CE.BD/│CE││BD│=-1/(√5/2)*(√5/2)=-4/5
∴<BD,CE>=π-arccos(4/5）
4、证明：∵c=a+b,d=a-b,
∴c.d=a^2-b^2=│a│^2-│b│^2=0
∴c⊥d
这道题好像已知少点什么。无法证|a|=|b|

Answer 2

1.|a|=2 |b|=1，a与b的夹角为π/3
we have a*b=2*1*cos(π/3)=1
so cos<2a+3b,3a-b>=(2a+3b)*(3a-b)/(|2a+3b|*|3a-b|)
=16/(5*4)=0.8
so <2a+3b,3a-b>=arccos0.8
2. because 向量abc两两所称的角相等并且|a|=1|b|=2 |c|=3
so <a,b>=<a,c>=<b,c>=2π/3
so |a+b+c|=sqrt(a+b+c)^2=sqrt(1+4+9-1-3-1.5)=sqrt8.5
3求等腰直角三角形中直角边上的中线所成的钝角的读书
设△ABC中，∠C=90°，AC=BC， D为AC中点，即求∠ADB=？
because ∠ADB=π-∠CDB=π-<DC,DB>=π-arc tan2.
4.c⊥d when and only when c*d=0 when and only when
(a+b)*(a-b)=a^2-b^2=0when and only when
|a|=|b|