如何用反三角函数表示反正弦、反余弦、正切、余切等角度？

Question

如题所述

Answer 1

什么是反三角函数？

反三角函数是一种基本初等函数。它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ,反正割，反余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

下面为反三角函数几何意义的解释：

图中圆弧为第一象限内的单位圆圆弧。

（1）左图：

P为圆弧上的点，此时：

因：sinα = x / 1 = x；故：α = arcsinx；

因：sinβ = y / 1 = y；故：β = arcsiny；

角度关系：arcsinx + arcsiny = α + β = 90° = π / 2；

边长关系：x² + y² = 1；

（2）右图：

P为圆内的点，此时：

角度关系：arcsinx + arcsiny = α + β ＜ 90° = π / 2；

边长关系：x² + y² ＜ 1。