极值点是函数在某一点取得极大值或极小值的点。在数学分析中，极值点的判定通常涉及到导数的性质。根据极值的定义和性质，我们可以推断出极值点不可能在哪些位置取得。
首先，极值点不可能在函数的不可导点取得。因为极值点的判定通常需要用到导数，如果函数在某点不可导，那么该点不可能是极值点。例如，函数在尖点、拐点或者定义域的边界点处可能不可导，因此这些点不可能是极值点。
其次，极值点不可能在函数的单调区间内部取得。如果函数在某区间内单调递增或递减，那么该区间内的任何点都不可能是极值点。这是因为极值点要求在该点附近函数值先增大（或减小）然后减小（或增大），即存在一个局部的最大值或最小值。
再次，极值点不可能在函数的平坦区域取得。如果函数在某区间内的值保持不变，即函数在该区间内是常数，那么该区间内的任何点都不可能是极值点。因为极值点要求在该点附近函数值有变化，而常数函数在任何点的函数值都相同，不存在极大值或极小值。
此外，极值点不可能在函数的无穷间断点取得。如果函数在某点处有无穷间断，那么该点的函数值趋于无穷大，不可能是有限的极大值或极小值。
最后，极值点不可能在函数的非孤立临界点取得。如果函数在某点处的导数存在，但是该点不是孤立的临界点（即在该点的邻域内还有其他临界点），那么该点不可能是极值点。因为在非孤立临界点附近，函数的行为受到其他临界点的影响，无法形成局部的最大值或最小值。
综上所述，极值点不可能在函数的不可导点、单调区间内部、平坦区域、无穷间断点以及非孤立临界点取得。这些位置由于各自的特点，无法满足极值点的定义和性质，因此不可能成为函数的极值点。在实际应用中，我们通常会通过分析函数的导数和临界点来寻找可能的极值点，并通过进一步的分析来确定它们是否真的是极值点。
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