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Question

如题所述

Answer 1

第一题：
答案abc=358

解析：
acb=a×100+c×10+b
bac=b×100+a×10+c
bca=b×100+c×10+a
cab=c×100+a×10+b
cba=c×100+b×10+a

则：
acb+bac+bca+cab+cba
=a×100+c×10+b
+b×100+a×10+c
+b×100+c×10+a
+c×100+a×10+b
+c×100+b×10+a
=(a+2b+2c)×100+(2a+b+2c)×10+(2a+2b+c)
=3194

设和进二，则
2a+2b+c =24
2a+b+2c=27
a+2b+2c=29

[可整理为
c-b=3
b-a=2即b=a+2
c-a=5即c=a+5
将b、c代入设和进二处2a+2b+c =24可得]
解方程得：
a=3，b=5，c=8
即abc=358

第二题：
这道题是1999小学数学奥林匹克赛决赛的题
A=17
这道题是倍余问题，倍余问题是同余问题的延伸。
正整数A、B、C除以同一个正整数D，所得的余数成倍数关系，我们就说正整数A、B、C对正整数D倍余。
这类问题有一个通用的解法。

正整数A除以正整数D的的余数是正整数B除以正整数D的余数的E倍，正整数B除以正整数D的的余数是正整数C除以正整数D的余数的F倍。求正整数D。
解法：
1， 求出A与B*E的差，B与C*F的差，（大减小），再求出这两个差的最大公约数M，列出M的所有公约数；
2， 求出A、B、C的最大公约数N，列出N的所有公约数；
3， 最大公约数M的所有公约数中不是最大公约数N的公约数的约数都有可能是D的取值；
4， 验证这些取值，确定出正确的值。
例：有三个正整数603、939、393除以同一个数，603除以这个数的余数是939除以这个数的余数的2倍；939除以这个数的余数是393除以这个数的余数的2倍。求这个数。
解：
939*2-603=1275，939-393*2=153，
（1275，153）=51=3*17；51的公约数有4个：1，3，17，51。
（603，939，393）=3。3的公约数有2个：1，3。
则D的可能取值有17和51两个。
603/17=35……8，939/17=55……4，393/17=23……2。则17是D的正确取值。
603/51=11……42，939/51=18……21，393/51=7……36。则51不是D的取值。
所以这个数是17。

Answer 2

1、所有 6 个数的和等于 (100+10+1)*(2a+2b+2c)=222*(a+b+c)，是 222 的倍数，
所以，abc 是比 N 大的 222 倍数再减 N 。
当 N=3194 时，由于 N/222 约等于 14 ，因此
（1）当 a+b+c=15 时， 222*15-3194=136 ，而 1+3+6 ≠ 15 ，舍去；
（2）当 a+b+c=16 时，222*16-3194=358 ，而 3+5+8=16 ，满足；
（3）当 a+b+c=17 时，222*17-3194=580 ，而 5+8+0 ≠ 17 ，舍去；
（4）当 a+b+c=18 时，222*18-3194=802 ，而 8+0+2 ≠ 18 ，舍去；
（5）当 a+b+c=19 时，222*19-3194=1024 ，是四位数，舍去，
综上可知，abc 是 358 。
2、根据已知，设 393=Aa+r ，939=Ab+2r ，603=Ac+4r ，
因此 393*4 、939*2、603 被 A 除的余数相同，
由于 939*2-393*4=306 ，393*4-603=969 ，
所以 A 是 306 与 969 的公约数，
由于 306=51*6 ，969=51*19 ，
所以 A 是 51 的约数。
由于 51=3*17 ，因此 A 可能是 17 或 51 ，
（1）当 A=17 时，A 除甲、乙、丙的余数分别为 8、4、2 ，满足；
（2）当 A=51 时，A 除甲、乙、丙的余数分别为 42、21、36 ，不满足；
综上可知，A=17 。