函数f(x)在点x可导一定要连续吗？

Question

如题所述

Answer 1

可导必连续的证明如下：

设y=f(x)在x0处可导，f'(x0)=A可导的充分必要条件有f(x)=f(x0)+A(x-x0)+o（│x-x0│）当x→x0时，f(x)=f(x0)+o（│x-x0│）由定理：当x→x0时f(x)→A的充分必要条件是f(x)=A+a(a是x→x0时的无穷小）得，limf(x)=f(x0)。

导数，也叫导函数值。是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。不是所有的函数都有导数，若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。对于可导的函数f(x)，xf'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。

导数的意义

1、函数的增减性：如果导数在某个点x处为正，说明函数在这个点的左边是上升的，右边是下降的；反之，如果导数在某个点x处为负，说明函数在这个点的左边是下降的，右边是上升的。如果导数在某个点x处为零，说明函数在这个点处达到了极值，可能是极大值或极小值。

2、函数的凸凹性：如果导数在某个点x处单调递增，则说明函数在这个点处是凸向上的；反之，导数在某个点x处单调递减，则说明函数在此点处是凸向下的。

3、极值问题：如果函数在某个点x的导数为零，说明此点处可能存在一个极值（局部最大值或最小值）。因此，求函数的极值问题可以转化为求其导数的零点问题。

4、速度和加速度：若函数y=f(x)表示某个物体的位移关于时间的函数，则函数在某个时间点x0处的导数f'(x0)即是该物体在这个时刻的瞬时速度。