奥数题：在边长为1的等边三角形中有10个点，证明：其中必有两个点之间的距离不大于1/3。

Question

在边长为1的等边三角形中有10个点，证明：其中必有两个点之间的距离不大于1/3。

Answer 1

分别平行于三条边作六条三等分线（每边两条），可把原等边三角形划分为九个边长为1/3的小等边三角形。10个点中必有两个点在一个小三角形中，这两个点之间的距离不大于1/3。

Answer 2

等边三角形，总长为3.将其拉成一条直线来观察。当有9个点时，9等分时，所有之间的距离最小，且为三分之一。如果不等分，将任意2点之间的距离，给另外2点的距离，那就有2点距离小于1/3。所以9个点为理论极限距离。当点数量为10的时候，距离也是10等分为最小，所以肯定小于3/10，所以也小于3/9即1/3

Answer 3

用反证法，假设10个点相邻点的距离a，b，c，d，e,f,g,h,i,k
a>1/3
b>1/3
c>1/3
d>1/3
e>1/3
f>1/3
g>1/3
k>1/3
则a+b+c+d+e+f+g+h+i+k>9*(1/3)=3
a+b+c+d+e+f+g+h+i+k=3矛盾

参考资料：^

Answer 4

题目有问题，应该是在等边三角形的边上有10个点
等边三角形一共三条边周长是3*1=3
上面有10个点，所以平均每两个点之间的距离是3/10=0.3
因为1/3>0.3所以肯定有两个点之间的距离小于1/3